Набла

[badgo]

$\overrightarrow{m}*\nabla=$?
$m$ - магнитный момент

[svv]

Сила, действующая на диполь с магнитным моментом $\mathbf m$ в магнитном поле $\mathbf B$:
$\mathbf F =(\mathbf m \cdot \mathbf \nabla) \mathbf B$.
Здесь $\mathbf m \cdot \mathbf \nabla$ -- это только оператор
$\mathbf m \cdot \mathbf \nabla = m_x \frac {\partial} {\partial x} + m_y \frac {\partial} {\partial y} + m_z \frac {\partial} {\partial z}$,
так что всё выражение означает
$F_x = m_x \frac {\partial B_x} {\partial x} + m_y \frac {\partial B_x} {\partial y} + m_z \frac {\partial B_x} {\partial z}$,
$F_y = m_x \frac {\partial B_y} {\partial x} + m_y \frac {\partial B_y} {\partial y} + m_z \frac {\partial B_y} {\partial z}$,
$F_z = m_x \frac {\partial B_z} {\partial x} + m_y \frac {\partial B_z} {\partial y} + m_z \frac {\partial B_z} {\partial z}$.

[ewert]

badgo
И, между прочим, не забывайте, что звёздочек в физике не существует (во всяком случае, в этой теме). Бывают только точечки и крестички. Вот Вы, к примеру, поставили звёздочку (из самых лучших побуждений, не сомневаюсь) -- и получилось нечто не имеющее ни малейшего смысла.

[badgo]

Спасибо,понял.
Насчет звездочек,точку не знал как поставить.

[Legioner93]

(Оффтоп)

Вектор можно и короче писать:$\vec{m}$

[badgo]

Не суть.
Еще интересует вот такая запись силы тяжести
$m\vec{g}\hat{z}$
Что обозначает z?

[svv]

Больше всего напоминает не формулу для силы тяжести, а тесно связанную с ней формулу для потенциальной энергии в поле силы тяжести: $U=mgz$. Здесь $m$ -- масса тела, $g$ -- ускорение свободного падения, $z$ -- высота тела над некоторым "нулевым" уровнем (например, поверхностью Земли), $U$ -- потенциальная энергия, которую приобрело тело в результате подъема на эту высоту.

Вместо $z$ часто пишут $h$. В формуле нет никаких черточек, шляпок и т.д.

Играем в игру "угадай формулу"?

[badgo]

Это должна быть какая та сила,потому что формула взята из равенства:
$(\vec{m}\cdot\nabla)\vec{B}=m\vec{g}\hat{z}$

[svv]

Я Вам не отвечу. Для ответа недостаточно данных. Выкладывайте всю информацию (что, где, откуда, зачем...).
Чего стоит одно только использование буквы $m$ в двух разных смыслах.
Сила тяжести равна $m\mathbf g$ -- см. школьный учебник физики.
Мне приходится ломать голову над вопросом: "А вот у кого-то там в формуле для силы тяжести еще $\hat z$ -- что он имел в виду?"

[badgo]

Я сам не знаю что имел в виду автор данного равенства.Взято у буржуев.
$(\vec{m}\cdot\nabla)\vec{B}=m\vec{g}$
Оставил вот так.
$\vec{m}\cdot\nabla$ это дивергенция?Или порядок расположения набла тут важен?

[svv]

Да, порядок важен. $\nabla \cdot \mathbf m = \operatorname{div} \mathbf m = \frac {\partial} {\partial x}m_x + \frac {\partial} {\partial y}m_y + \frac {\partial} {\partial z}m_z$ -- это дивергенция $\mathbf m$, причем не оператор дивергенции, а результат его применения к векторному полю $\mathbf m$. То есть это число в каждой точке пространства.

А $\mathbf m \cdot \mathbf \nabla = m_x \frac {\partial} {\partial x} + m_y \frac {\partial} {\partial y} + m_z \frac {\partial} {\partial z}$ -- это именно оператор, не число и не вектор. Ему чтобы стать числом или вектором, надо подействовать на что-то справа, например, на $\mathbf B$.

(Вы не забыли, что операторы $\frac {\partial} {\partial x}$, $\frac {\partial} {\partial y}$, $\frac {\partial} {\partial z}$ действуют на то, что справа и не действуют на то, что слева?)

Этот оператор близок по смыслу к тому, что называется "производная по направлению".

badgo, расколитесь, наконец, у каких буржуев? Книга, статья, веб-страничка, коммерческая тайна?

badgo писал(а):

$(\vec{m}\cdot\nabla)\vec{B}=m\vec{g}$

В таком варианте это может означать условие уравновешивания магнита внешним магнитным полем (магнитик парит в воздухе и не падает).

[badgo]

Это из теории по левитрону.
Как правильно читается это выражение $(\vec{m}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}$ ?
Если как вы говорите набла дейсвтует справа, т.е. на В,то зачем тогда стоят скобки?

[svv]

Я почти угадал. Да, левитрон -- удивительная штука.

Скобки стоят для того, чтобы избежать бессмысленного в векторной алгебре действия $\vec{\nabla} \vec{B}$ (в тензорной алгебре оно вполне имеет смысл, но это в тензорной). Допустим, мы понимаем выражение как $\vec{m}\cdot (\vec{\nabla}\vec{B})$. Задумайтесь над таким вопросом. В этом случае у нас имеется скалярное произведение $\vec{m}$ и ещё чего-то. Но ведь результатом скалярного произведения является скаляр, на то оно и скалярное. Как же тогда получится вектор силы?

Как это читается -- не знаю. Предлагаю "производная поля $\vec B$ по направлению $\vec m$".

[badgo]

Насчет $(\vec{m}\cdot\nabla)\vec{B}=m\vec{g}$ ,кажется, понял.Спасибо.

$m\vec{g}\hat{z}$
Но все таки меня мучает эта запись...
Может ли она обозначать проекцию силы тяжести на ось z?Если так, то получается справа будет скаляр и опять несостыковочка....

[svv]

Cтатья "Spin stabilized magnetic levitation": http://www.physics.ucla.edu/marty/levitron/spinstab.pdf
Авторы Simon, Heflinger, Ridgway. Опубликована в American Journal of Physics, апрель 1997.

Журнал, как Вы понимаете, серьёзный. В этой статье тоже встречается выражение $mg\mathbf{\hat{z}}$.
Но обратите внимание: $g$ набрано просто курсивом, а $\mathbf{\hat{z}}$ -- жирным, ещё и со шляпкой.
Это значит, что $g$ -- скаляр (а не вектор, как в Вашей формуле). То есть просто $9,81\,\text{м}/\text{с}^2$.
А вот $\mathbf{\hat{z}}$ -- это вектор (а не скаляр, как в Вашей формуле).
И теперь всё понятно: это единичный вектор по оси $z$ (направленный вверх). Шляпка означает, что это орт, единичный вектор ортонормированного базиса. Более привычное обозначение $\mathbf e_{z}$.
Конечно, двум векторам, стоящим рядом ($\vec g$ и $\hat z$), было бы тесно, поэтому, опираясь на буржуйскую формулу как Вы её привели, мы не могли раньше прийти к выводу, что $\hat z$ -- вектор.

Кроме того, убивается еще один заяц -- неправильный знак правой части (об этом я уже молчал). Условие равновесия сил -- это вообще-то "сумма сил равна нулю", а не "вектор одной силы равен вектору другой". Поэтому надо было бы писать так: $(\mathbf m \cdot \mathbf \nabla) \mathbf B + m \mathbf g = 0$. А поскольку $\mathbf g=-g\mathbf{e}_z$ или, в буржуйских обозначениях, $\mathbf g=-g\mathbf{\hat z}$, то при переносе второго слагаемого в правую часть минус исчезает: $(\mathbf m \cdot \mathbf \nabla) \mathbf B = m g\mathbf{e}_z$. Так что не удивляйтесь, что сила тяжести направлена вверх. Это из-за переноса в другую часть.

Мораль: Первоисточники. Не слухи.