Количество соседних ячеек

[atomAltera]

Всем привет!
У меня вопрос, в инете ничего не нашёл.

Как математически описать количество (и координаты) соседних клеток в некой системе.

Например количество соседних квадратных клеток на плоскости, как на обычной шахматной доске.

Ну с определением соседних ячеек понятно: Ячейки называются соседними, если имеют общую грань.
Если взять, например, соты, то там соседних ячеек 6. Я не знаю как это абстрагировать и описать формулами.

Ну с прямоугольными ячейками всё понятно: Количество соседних ячеек (3^d) - 1, где d - количество измерений.

Я в математике не силён но стараюсь...

[Circiter]

См. теор-групповые решетки (например в wiki/Lattice_(group)); или используйте графы для задания/описания соседства.

P.S.: Если от деления на ячейки не требуется какая-то особая регулярность, то вопрос ваш становится очень сложным.

[atomAltera]

Цитата:

Если от деления на ячейки не требуется какая-то особая регулярность

Поясните пожалуйста...

[Sonic86]

atomAltera писал(а):

Поясните пожалуйста...

Это если у Вас произвольные ячейки. Если они подчиняются каким-то условиям, то легче. Например, если они все одинаковые. Или они лежат в конечном множестве. Или еще что-то такое...

[atomAltera]

Да, элементы (будем говорить элементы, а не ячейки) расположенный в определённом порядке. Порядок основывает на количестве соседей у каждого элемента. Я предполагаю, что можно делать так: n - количество соседей, d - количество измерений, тогда если n = 3, а d = 2 получится что-то вроде сетки из треугольников. А если n = 6, тогда получаться соты. Проблема в том, как определять координаты таких ячеек...

[Sonic86]

Вам надо для заданных $n,d$ регулярно покрыть $d$-мерное пространство ячейками так, чтобы у каждой ячейки было $n$ соседей?
А сами ячейки все одинаковы с точностью до движений:

atomAltera писал(а):

Ну с прямоугольными ячейками всё понятно: Количество соседних ячеек (3^d) - 1, где d - количество измерений.

Почему?? Если плоскость квадратами покрыть, у каждого квадрата будет 4 соседа!

И вообще: ячейка имеет $n$ соседей $\Leftrightarrow$ ячейка имеет $n$ граней.

[Circiter]

2Sonic86

Цитата:

Если плоскость квадратами покрыть, у каждого квадрата будет 4 соседа!

Ну вот в компьютерной графике для растровых картинок рассматривают разные типы связности пикселей, например 4-соседство и 8-соседство (тоже в теории клеточных автоматов). И топикстартер, видимо, имел ввиду не только фасеточное касание, но и касание по ребрам/вершинам (понять, что же именно, можно по формуле из первого поста, но мне лень :) ).

2atomAltera

Цитата:

Проблема в том, как определять координаты таких ячеек...

Вы по приведенной мной ссылке на вики смотрели?

Идея там в том, что задается базис решетки в виде набора неколлинеарных (не лежащих на одной прямой) векторов, скажем $x$ и $y$ (это пример для 2D), а все остальные точки конструируются просто линейной комбинацией этих векторов с использованием только целочисленных коэффициентов. То есть любая точка выражается как $\alpha x+\beta y$, где $\alpha,\ \beta\in\mathb{Z}$.

Решетка порождает разбиение пространства на области Вороного своих точек.

Цитата:

Поясните пожалуйста...

В дополнение к сказанному Sonic86'ом, напомню, что в достаточно общей постановке --- например, в пространстве произвольной размерности --- ряд вопросов, связанных с делением на ячейки и определением количества соседей, сводится к известным открытым (до сих пор нерешенным) математическим проблемам. Cf. контактное число. Надеюсь, это не ваш случай. :)

[Sonic86]

Circiter, спасибо за пояснение

[atomAltera]

Sonic86 в сообщении #424721 писал(а):

Почему?? Если плоскость квадратами покрыть, у каждого квадрата будет 4 соседа!

Ну это смотря кого считать соседями. Мне кажется, что как раз логичнее считать соседей, ну к примеру в случае с 2-я координатами точки $С(x; y)$ следующим образом: $(x+1; y)$, $(x-1; y)$, $(x; y+1)$, $(x; y-1)$. $(x+1; y+1)$ лучше не использовать, потому что в тех кто контачит углами не всегда нужно брать, например в случае сот.

Щас прочитаю статью из википедии...