Сферическая система координат

[shwedka]

evgeniy в сообщении #423264 писал(а):

пРиведя квадратичную форму к виду

Все это неконкретно. Общие слова.
Если нечего делать, приводите стандартную метрику сферы в сферических координатах, а не размахивайте руками. Если будете честно все делать, увидите сами, где все развалится.
Я вынуждена повторять. Когда во всех деталях все будет написано, укажу ошибку. Уж будьте спокойны, ошибка будет.

evgeniy в сообщении #423264 писал(а):

пРичем в силу ортогональности координат $x_l$, координаты $s_l$, построенные по формуле (3) будут ортогональны.

Ваше очередное заблуждение. когда станете это по-честному проверять, обнаружите, что это не так.

[evgeniy]

Конкретно для сферической системы координат. Из формула для ортогональных огибающих, построенных при изменении углов сферической системы координат, имеем
$s_2=\int_{\varphi=0}^{\varphi}\sqrt{\sum_{k=1}^3(\frac{\partial x_k}{\partial \varphi})^2}d\varphi=\int_{\varphi=0}^{\varphi}R|\sin\theta(\varphi)| d\varphi$\eqno(1)
$s_1=\int_{\theta=0}^{\theta}\sqrt{\sum_{k=1}^3(\frac{\partial x_k}{\partial \theta})^2}d\theta=R\theta\eqno(2)$
Т.е. огибающая $s_2$ зависит от функции $\theta(\varphi)$. При изменении угла $\varphi$, полагаем угол $\theta $равным константе. ТОгда при пересчете из координат $s_1,s_2$ в координаты $\theta,\varphi $ получается однозначный результат.
Т.е. решается линейное уравнение, которое получено при условии $\theta=const$ во втором уравнении
$s_1=R\theta$
$s_2=R|\sin\theta|\varphi$
ПРи этом из формул для огибающей (1) и (2)имеем
$ds_1=Rd\theta$
$ds_2=R|\sin\theta|d\varphi$.
т.е. получаем правильный переход в сферическую систему координат.
Shwedka, я получу Ваш ответ, и на этом давайте закончим, я не хочу отнимать у ВАс все время, до пятницы, тем более что я лучше подготовлюсь к ответу. А если Вы скажете, я прекращу занятие этой темой на этом форуме.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #423300 писал(а):

ПРи этом из формул для огибающей (1) и (2)имеем $ds_2=R|\sin\theta|d\varphi$.

Неверно. Если по-честному сосчитаете, то будет
$ds_2=R|\sin\theta|d\varphi + R \frac{\sin(\theta)}{|\sin(\theta)|} \varphi \cos\theta d\theta$

[evgeniy]

Shvedka я в начале хотел согласиться и отказаться от этой задачи, но потом подумал и как мне кажется построил правильную конструкцию по определению длин дуг. Нужно просто изменить акценты и правильно определять используемые формулы и доопределить неоднозначную формулу вычисления длины дуги, вычислением ее минимума, тогда фиксация переменной будет обоснованна. Построение углов можно применять при некоторой модификации относительно любой поверхности. Для обоих огибающих надо определять минимум функционала. Да, чтобы получилось цельное изложение, я вначале создал файл, и только потом перебросил его на форум.
Да, огибающая термин не правильный, используют термин длина дуги вдоль кривой. Термин огибающая используется при описании каустик.
Согласно формулам (1) и (2), моего предыдущего поста, приращение длин дуг кривых определяется по формуле
$ds_1=Rd\varphi\eqno(3) $
$ds_2=R|\sin\theta(\varphi)|d\varphi\eqno(4) $
Это общие соотношения, следующие из формулы для дуг кривых, вычисленные при изменении углов сферической системы координат. При этом получается правильный переход к сферической системе координат. При чем справедливо равенство (4), хотя в граничной точке имеем угол $\theta$. Но так как дифференциал в формуле
$d\sigma^2=ds_1^2+ds_2^2$
берется при фиксированном значении другой длины дуги, формула (4) справедлива.
Определим величину изменения длины дуги из второй не однозначной формулы (4) по закону, где начальная и конечная точки зафиксированы
$s_1=R\theta\eqno(3a) $
$s_2=R\int_{\varphi=0}^{\varphi}|\sin\theta(\varphi)|d\varphi\eqno(4a) $
где длина дуги $s_2$ определяется экстремумом интеграла (минимумом при положительном интеграле, и максимумом при отрицательном)
Это будет соответствовать тому, что длина дуги между двумя точками будет определяться по проекции дуги линии, их соединяющей. Причем линия для сферы направлена вдоль касательных, т.е. по прямой линии.
Произведем оцифровку поверхности сферы, направив длины дуг кривых по изменению углов сферической системы координат, при фиксированных значениях не изменяемых углов, получим
$s_1=R\varphi\eqno(5) $
$s_2=R|\sin\theta| \varphi\eqno(6) $
Но эти формулы оцифровки справедливы при $\theta=const$ , что соответствует минимуму интеграла.
Как же получить из этих формул (5) и (6) формулы (3) и (4) вдоль сетки на поверхности тела. Они выведены вдоль сетки, поэтому применять их можно только вдоль сетки.
Считаем приращение функций из формулы (5) на поверхности тела, при фиксированной величине $s_2$ (считаем вдоль сетки).
При этом можно применять формулу (4а), с переменной величиной $\theta$ . Тогда получим для постоянства длины дуги $s_2$ , постоянство угла $\varphi$.
Получим приращение функций из формулы (6), на поверхности тела вдоль сетки, при фиксированной величине $s_1$. Так как угол $\theta$ фиксирован, получим изменение только угла $\varphi$, и формулу (4).
Вы спросите, по каким формулам определяется длина дуги заданной точки $ (s_1,s_2) $. По формуле (3а),(4а)
Как же быть при изменении угла $\theta,\varphi$ одновременно. Для этих целей формула (6) не подходит. Величины длины дуги будет определяться минимумом или максимумом интеграла в зависимости от его знака при варьировании $\theta(\varphi) $ и фиксированной начальной и конечной точки.
$s_2=\int_{\varphi=0}^{\varphi}R|\sin\theta(\varphi)|d\varphi$
Величина $s_1$ определяется по простой формуле, тут минимум интеграла не требуется.
Формулы или функции для зависимости $s_2=g(\theta,\varphi) $ не существует, это функционал, так как кривой $\theta(\varphi) $ соответствует точка. В связи с тем, что координата точки $ (s_1,s_2) $ является функционалом или не локальна, поэтому Гаусс не работает.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #424355 писал(а):

В связи с тем, что координата точки $ (s_1,s_2) $ является функционалом или не локальна, поэтому Гаусс не работает.

Все не годится. Вы ищете координаты на сфере.
Если это не функции, то это не координаты на сфере.

и не только Гаусс, но и никакие другие дифференциально геометрические
понятия мне работают. Уравнение Лапласа не пишется
.
ваша цель, найти координаты, в которых Лапласиан имеет желаемый вид, не достигнута, поскольку вы нашли не координаты.

-- Пт мар 18, 2011 14:09:07 --

Цитата:

Согласно формулам (1) и (2), моего предыдущего поста, приращение длин дуг кривых определяется по формуле
$ds_1=Rd\varphi\eqno(3) $
$ds_2=R|\sin\theta(\varphi)|d\varphi\eqno(4) $

вторая формула ошибочна. Возьмите учебник и прочитайте о дифференциалах функции нескольких переманных.

[evgeniy]

Я знаю правило дифференцирования интеграла
$s_2=\int_{\varphi=0}^{\varphi}|sin\theta(\varphi)|d\varphi$
и так как дифференциал $ds_2$ считается при фиксированной величине $s_1$, производная от интеграла с переменным верхним пределом, равна интегрируемой функции. Функция $\theta(\varphi)$ имеет фиксированную граничную точку, поэтому я говорю о постоянстве $s_1$ и следовательно постоянное значение $\theta $.
Получается не локальное задание координат, одна точка на сфере зависит от функции $\theta(\varphi)$, которую можно благополучно вычислить, но формула будет не локальная. Вычисляя эту функцию, получим формулу для углов на сфере, но эта формула не локальна, хотя и считается.
Почему я говорю о фиксации другой переменной. Иначе в дифференциале в объеме была бы формула
$dR\theta=Rd\theta+\theta dR$

[shwedka]

evgeniy в сообщении #424414 писал(а):

, производная от интеграла с переменным верхним пределом, равна интегрируемой функции.

совершенно верно. Частная производная$ \frac{\partial s_2}{\partial \varphi}$
равна этой величине. Но Дифференциал считается по другой формуле

Цитата:

дифференциал $ds_2$ считается при фиксированной величине $s_1$

неверно
Раз Вы пишете $ds_1^2+ds_2^2$, tо уже $s_1$ не фиксировано.

evgeniy в сообщении #424414 писал(а):

Вычисляя эту функцию, получим формулу для углов на сфере, но эта формула не локальна, хотя и считается.

Как всегда у Вас, много красивых слов.

Приведите подробные вычисления, я укажу ошибки. Пока что только размахивание руками.

Цитата:

формула нелокальна

смысл этих слов неясен.

[evgeniy]

дОстаточно считать величину $\frac{\partial s_2}{\partial \varphi}$ Величина дифференциала в метрическом интервале
$ds^2=dR^2+R^2d\theta^2+sin^2\theta d\varphi^2$
считается при остальных фиксированных переменных, иначе были бы члены
$dR\theta=Rd\theta+\theta dR$
Формула для длины дуги $s_2$
$s_2=min \int_{\varphi=0}^{\varphi}|sin\theta(\varphi)|d\varphi$
$s_1=R\theta$
где минимум ищется при варьировании функции $\theta(\varphi)$ и величина $\varphi$ положительна. Т.е. координата точки $s_2$ зависит от кривой на сфере, т.е. не локальна. У меня это все описано в моем первом сегодняшнем сообщении.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #424441 писал(а):

считается при остальных фиксированных переменных,

Неправда. когда речь иден о метрическом интервале на сфере, то только при фиксиерованном$ R$

evgeniy в сообщении #424441 писал(а):

где минимум ищется при варьировании функции $\theta(\varphi)$ и величина $\varphi$ положительна.
У меня это все описано в моем первом сегодняшнем сообщении.

Не все и не это. Вычислите этот минимум и посчитайте честно и подробно метрическую форму в новых координатах. я тогда укажу ошибку. Пока что машете руками.

evgeniy в сообщении #424441 писал(а):

Т.е. координата точки $s_2$ зависит от кривой на сфере

Неправда. После того, как минимизировали, будет вполне конкретная минимизирующая кривая. Так что $s_2$ засвисит от $\varphi , \theta$

evgeniy в сообщении #424441 писал(а):

дОстаточно считать величину $\frac{\partial s_2}{\partial \varphi}$

Никогда не достаточно.
Есть формула
$ds=\frac{\partial s}{\partial \theta}d\theta+\frac{\partial s}{\partial \varphi}d\varphi$

Формула абсолютная. Верна всегда, как бы величина $s$ ни выражалась через $\theta,\varphi$, лишь бы дифференцируемо.

Стоит во всех учебниках. Если вы и эту формулу отрицаете, то буду ходатайствовать о Вашем бане за злокачественное невежество.

[evgeniy]

Метрический тензор равен
$\sum_{l=1}^{3}\frac{\partial x_l}{\partial q_n}\frac{\partial x_l}{\partial q_m}$
т.е. у дифференциала $dq_n dq_m$ берутся частные производные.
Я говорю о метрическом интервале в пространстве, а не на сфере, поэтому радиус не константа.
Чтобы подсчитать минимум функционала, мне нужна точная формула лагранжа, которую я не помню. Сейчас поищу в интернете или в моей литературе на компьютере. Но важна принципиальная вещь, которая проявляется не на сфере, а на произвольном теле, координата $s_2$, зависит от кривой на поверхности тела, т.е. не локальна.
Я исправил мой вывод углов с помощью нахождения операторов, они содержат не локальное преобразование, т.е. угол зависит от всей поверхности, а не локален, как в теореме Гаусса.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #424454 писал(а):

говорю о метрическом интервале в пространстве, а не на сфере,

Неправда. Все время речь была о координатах на сфере.

evgeniy в сообщении #424454 писал(а):

Метрический тензор равен
$\sum_{l=1}^{3}\frac{\partial x_l}{\partial q_n}\frac{\partial x_l}{\partial q_m}$

Вот и считайте по-честному.

А метрический интервал пространстве равен
$\sum_{l=1}^{3}\frac{\partial x_l}{\partial q_n}\frac{\partial x_l}{\partial q_m}dq_mdq_n$[/quote]

evgeniy в сообщении #424454 писал(а):

Но важна принципиальная вещь, которая проявляется не на сфере, а на произвольном теле, координата $s_2$, зависит от кривой на поверхности тела, т.е. не локальна.

Говорите сколько угодно, но это пустое.
Проведите подробно и честно вычисления и получите указание ошибки.

evgeniy в сообщении #424454 писал(а):

т.е. угол зависит от всей поверхности, а не локален, как в теореме Гаусса.

Слова лишены смысла.

-- Пт мар 18, 2011 17:49:58 --

shwedka в сообщении #424447 писал(а):

Есть формула
$ds=\frac{\partial s}{\partial \theta}d\theta+\frac{\partial s}{\partial \varphi}d\varphi$

Так Вы эту формулу признаете или нет?

[evgeniy]

В данном случае справедлива формула
$\sum_{l=1}^{2}\frac{\partial s_l}{\partial q_n}\frac{\partial s_l}{\partial q_m}$
Из Вашей формулы можно получить формулу для метрического тензора, так что она правильно применена.
Я не понимаю, что не понятно в нелокольности преобразования. Даже если для сферы получим конечную формулу для углов, она получена при интегрировании кривой по поверхности, т.е. зависит от свойства поверхности, и для произвольной поверхности определяется сложным интегралом от кривой по поверхности, т.е. не локальна.
А вообще то, я беру тайм-аут, мне надо подумать над вычислением метрического тензора.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #424470 писал(а):

Даже если для сферы получим конечную формулу для углов, она получена при интегрировании кривой по поверхности, т.е. зависит от свойства поверхности,

Наконец-то согласились. координаты, их свойства зависят от свойства поверхности, и есть что-то в поверхности (кривизна), что эти координаты регулирует.

evgeniy в сообщении #424470 писал(а):

Из Вашей формулы можно получить формулу для метрического тензора, так что она правильно применена.

Не моя это формула. Лет 200 назад, если не 300 была получена.
А на вопрос не ответили. Не о применении речь идет, а о признании Вами справедливости формулы.

shwedka в сообщении #424460 писал(а):

Есть формула
$ds=\frac{\partial s}{\partial \theta}d\theta+\frac{\partial s}{\partial \varphi}d\varphi$

Вы с ней согласны? или нет?

[evgeniy]

Конечно согласен. Вопрос когда и как ее применять. Если один из углов фиксирован, то применять эту формулу нельзя.
Я в этом никогда и не сомневался. Форма поверхности определяет ее кривизну. но при этом кривизна определяется локальными свойствами. В этом я убедился благодаря Вашему примеру. Но я строю систему координат в которой использованы глобальные свойства поверхности. Может быть пример со сферической системой координат не справедлив, мне надо подумать, но то что он определяется глобальными свойствами поверхности, а не локальными для меня очевидно.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #424480 писал(а):

Если один из углов фиксирован, то применять эту формулу нельзя.

Неверно.
Что за чушь!! Формула верна, но ее применять нельзя? Бред!! Полнейший!

Если один из углов фиксирован, то одно из слагаемых зануляется.
А формула верна

ВСЕГДА!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
если возражаете, то приведите 1(один) пример, когда эта формула неверна.

evgeniy в сообщении #424480 писал(а):

Но я строю систему координат в которой использованы глобальные свойства поверхности

Ничего Вы не строите. Только руками машете.
подайте вашу систему. В натуре.