Неравенство

[Andrey173]

Пусть даны два натуральных числа p и q, такие что $\frac{p}{q}<\sqrt{11}$.
Всегда ли верно неравенство $\frac{p}{q}+\frac{1}{3pq}<\sqrt{11}$?

[nnosipov]

Andrey173 в сообщении #424448 писал(а):

Пусть даны два натуральных числа p и q, такие что $\frac{p}{q}<\sqrt{11}$.
Всегда ли верно неравенство $\frac{p}{q}+\frac{1}{3pq}<\sqrt{11}$?

Да. Более того, всегда верно даже неравенство $\frac{p}{q}+\frac{1}{2pq}<\sqrt{11}$.

[arqady]

И такое $\frac{p}{q}+\frac{0.94987437}{pq}<\sqrt{11}$

[nnosipov]

arqady в сообщении #424474 писал(а):

И такое $\frac{p}{q}+\frac{0.94987437}{pq}<\sqrt{11}$

Ну тогда не будем скрывать правду и прямо скажем, что мы имеем в виду $6/(\sqrt{11}+3)$ (минус эпсилон, конечно).

[MrDindows]

$\frac{p}{q}+\frac{1}{pq}<\sqrt{11}$
Попытаюсь доказать:
Пусть $p^2=11q^2-k$, где $k$ - натуральное, меньше $11q^2$ и больше $1$ (так как $p^2=11q^2-1$ не имеет решений в нат. числах).
Тогда нам необходимо доказать:
$(p^2+1)^2<11p^2q^2$
$(11q^2-k+1)^2<11^2q^4-11q^2k$
После раскрытия скобок получим:
$11q^2+k^2-2k+1<11q^2k$
$11q^2(k-2)>(k-1)^2$
$11q^2>\frac{k^2-2k+1}{k-2}$
$11q^2>4k+\frac{1}{k-2}$
А это неравенство верно, так как $k<11q^2 , \ \frac{1}{k-2} \le 1 $.
Значит и исходное неравенство верно для всех $p$ и $q$.

Мм, ещё и случай когда $k=2$ надо рассмотреть)

Вроде верно?)

[nnosipov]

MrDindows в сообщении #424484 писал(а):

$\frac{p}{q}+\frac{1}{pq}<\sqrt{11}$

Это неравенство доказать не удастся (возьмите $p=3$, $q=1$). Это как раз соответствует случаю $k=2$.

[MrDindows]

Да, это ж когда $ k=2$ =)
Ну это вроде получается единственное исключение, вот только надо как-то доказать, что у
$p^2+2=11q^2$ только одно решение в нат числах)

[Andrey173]

А может быть, кто-нибудь посоветует хороший теоретический материал и задачник по неравенствам?

[MrDindows]

Andrey173 в сообщении #424487 писал(а):

А может быть, кто-нибудь посоветует хороший теоретический материал и задачник по неравенствам?

Имхо, здесь больше теория чисел, чем неравенства

[Andrey173]

MrDindows в сообщении #424488 писал(а):

Имхо, здесь больше теория чисел, чем неравенства

По теории чисел я уже начал читать книгу, просто параллельно читаю книгу по элементарной математике, закончил главу по неравенствам, но там как-то не особо подробно, я подумал здесь будет в тему спросить.

[nnosipov]

MrDindows в сообщении #424486 писал(а):

Да, это ж когда $ k=2$ =)
Ну это вроде получается единственное исключение, вот только надо как-то доказать, что у
$p^2+2=11q^2$ только одно решение в нат числах)

И это доказать нельзя, поскольку есть бесконечно много решений в целых числах. Чтобы понять все эти фокусы, нужно почитать про уравнения Пелля.

[MrDindows]

nnosipov в сообщении #424493 писал(а):

MrDindows в сообщении #424486 писал(а):

Да, это ж когда $ k=2$ =)
Ну это вроде получается единственное исключение, вот только надо как-то доказать, что у
$p^2+2=11q^2$ только одно решение в нат числах)

И это доказать нельзя, поскольку есть бесконечно много решений в целых числах. Чтобы понять все эти фокусы, нужно почитать про уравнения Пелля.

Вот общий вид уравнения Пелля:
$x^2-ny^2=1$,

[nnosipov]

Я имел в виду уравнения вида $x^2-Ay^2=B$, их также иногда называют уравнениями Пелля.

[Null]

Если у $x^2-Ay^2=B$ есть решения, то их бесконечно много.

[Sonic86]

Andrey173 писал(а):

А может быть, кто-нибудь посоветует хороший теоретический материал и задачник по неравенствам?

Исходная задача напоминает проблему приближения действительных чисел дробями. Начать можно с цепных дробей в книжке Бухштаба Теория чисел (книга очень простая). А еще есть книга Боднара Ветвящиеся цепные дроби. Но это вот именно для таких специальных неравенств, когда числа целые... Для решения неравенств с переменными из $\mathbb{R}$ нужны совсем другие методы...