Дробные производные

[Gortaur]

Вчера один проф. лекцию читал по дробному всему в теории систем. Естественно, дробные производные затронул. Так вот - отметил (я потом же у него уточнил), что ни одно определение в общем случае не сохраняет свойство

$$ \partial^a(\partial^b f(x) ) = \partial^{a+b}f(x). $$

Я понимаю, что мотивацией для многих определений были преобразования Фурье и Ласпласа, но почему нет определения, сохраняющего это немаловажное свойство?

[ИСН]

А как?

-- Пт, 2011-03-18, 12:51 --

Вот тут перетирали что-то: post406042.html

[Gortaur]

Да, я собственно читал это тогда. Не перетерли. Собственно, насчет того же синуса - рассмотрим класс функций, для которых сходится на $[0,1]$ равномерно ряд Фурье, т.е.

$$ f(x) = a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}. $$

Определим тогда

$$ d^\alpha f(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n^\alpha\cos\left(nx-\alpha\frac{\pi}{2}\right)+b_n n^\alpha\sin\left(nx-\alpha\frac{\pi}{2}\right). $$

Если я не ошибся, по такому определению композиция сохраняется и для натуральных $\alpha$ это определение совпадает с определением производной целого порядка. Не знаю как насчет интегрирования - но это не было целью.

[svv]

Gortaur писал(а):

ни одно определение в общем случае не сохраняет свойство $\partial^a(\partial^b f(x) ) = \partial^{a+b}f(x).$

Вот же ж! а я, размышляя, как бы ввести, например, оператор $\partial^{\frac 1 2}$, как раз хотел потребовать $\partial^{\frac 1 2} \partial^{\frac 1 2} = \partial$.

[Gortaur]

svv
Я сам был удивлен, когда казалось бы такое основное свойство не выполняется. Когда вводили гамма-функцию почему-то основное свойство факториала для нее выполнялось - а для дробной производной даже композиция не дает желаемый результат. Причем их много ввели - лектор про 3-4 вида рассказывал (видимо, как Ито и Стратонович - для разных случаев удобны) но все же интересно ввести производную мотивированную самым простым свойством, как вторую и третью - а не через преобразование Фурье.

[svv]

Еще два вопроса. Может быть даже, не к Вам, а к авторам уже дававшихся определений:
1. А можно ли всё-таки именно это свойство положить в основу?
2. Какие свойства они считали более ценными и почему?
Вы частично уже ответили (интегральные преобразования).

[Gortaur]

Я и попытался положить это свойство в основу - см. мое определение выше через ряды Фурье. Авторы других подходов изначально брали формулы для производных через преобразования Фурье/Лапласа куда $n$ входит просто. После этого они лишь меняли $n$ на $\alpha$ для любого действительного/комплексного $\alpha$.

Однако см. Википедию -определение через интеграл Коши, как они утверждают, сохраняет свойство полугруппы.