2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дробные производные
Сообщение18.03.2011, 11:01 


26/12/08
1813
Лейден
Вчера один проф. лекцию читал по дробному всему в теории систем. Естественно, дробные производные затронул. Так вот - отметил (я потом же у него уточнил), что ни одно определение в общем случае не сохраняет свойство
$$
\partial^a(\partial^b f(x) ) = \partial^{a+b}f(x).
$$
Я понимаю, что мотивацией для многих определений были преобразования Фурье и Ласпласа, но почему нет определения, сохраняющего это немаловажное свойство?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.03.2011, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
А как?

-- Пт, 2011-03-18, 12:51 --

Вот тут перетирали что-то: post406042.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.03.2011, 13:52 


26/12/08
1813
Лейден
Да, я собственно читал это тогда. Не перетерли. Собственно, насчет того же синуса - рассмотрим класс функций, для которых сходится на $[0,1]$ равномерно ряд Фурье, т.е.
$$
f(x) = a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}.
$$
Определим тогда
$$
d^\alpha f(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n^\alpha\cos\left(nx-\alpha\frac{\pi}{2}\right)+b_n n^\alpha\sin\left(nx-\alpha\frac{\pi}{2}\right).
$$

Если я не ошибся, по такому определению композиция сохраняется и для натуральных $\alpha$ это определение совпадает с определением производной целого порядка. Не знаю как насчет интегрирования - но это не было целью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробные производные
Сообщение18.03.2011, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Gortaur писал(а):
ни одно определение в общем случае не сохраняет свойство $\partial^a(\partial^b f(x) ) = \partial^{a+b}f(x).$
Вот же ж! а я, размышляя, как бы ввести, например, оператор $\partial^{\frac 1 2}$, как раз хотел потребовать $\partial^{\frac 1 2} \partial^{\frac 1 2} = \partial$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.03.2011, 14:21 


26/12/08
1813
Лейден
svv
Я сам был удивлен, когда казалось бы такое основное свойство не выполняется. Когда вводили гамма-функцию почему-то основное свойство факториала для нее выполнялось - а для дробной производной даже композиция не дает желаемый результат. Причем их много ввели - лектор про 3-4 вида рассказывал (видимо, как Ито и Стратонович - для разных случаев удобны) но все же интересно ввести производную мотивированную самым простым свойством, как вторую и третью - а не через преобразование Фурье.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробные производные
Сообщение18.03.2011, 14:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Еще два вопроса. Может быть даже, не к Вам, а к авторам уже дававшихся определений:
1. А можно ли всё-таки именно это свойство положить в основу?
2. Какие свойства они считали более ценными и почему?
Вы частично уже ответили (интегральные преобразования).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.03.2011, 14:35 


26/12/08
1813
Лейден
Я и попытался положить это свойство в основу - см. мое определение выше через ряды Фурье. Авторы других подходов изначально брали формулы для производных через преобразования Фурье/Лапласа куда $n$ входит просто. После этого они лишь меняли $n$ на $\alpha$ для любого действительного/комплексного $\alpha$.

Однако см. Википедию -определение через интеграл Коши, как они утверждают, сохраняет свойство полугруппы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group