Квадратные неравенства.

[Satankain]

Господа пожалуйста подскажите как решить данные неравенства:
1) при каких значениях k неравенство не имеет решений $kx^2+4x+k+1>0$
2) при каких значениях t неравенство верно для всех x:
$tx^2-6x-1<0$. Первый я начал решать получается нер-во не имеет решений при $4^2-4(k+1)k<0$, а правитльно или нет и что делать дальше не знаю, пожалуйста подскажите.

[Алексей К.]

Я бы рассмотрел отдельно три случая $k\lesseqgtr0$:
$k>0$: это парабола рогами вверх; как бы низко не находилась её попа, рога всё равно вылезут туда, где светло, и неравенство безусловно имеет решения.

Случаи $k=0$ и $k<0$ оставляю додумывать Вам.

[spaits]

$k=0$: $4x+1>0$. Решения данного неравенства есть. Подумайте, почему.
$k<0$: $kx^2+4x+k+1>0$. Дискриминант $D<0$; находим дискриминант по "парной формуле": $D'=2^2-k^2-k=4-k^2-k$.
$4-k^2-k<0; k^2+k-4>0$ - это условие, вместе с условием $k<0$, необходимо и достаточно, чтобы данное квадратное неравенство не имело решений. Дискриминант этого трёхчлена также обозначу как D$, только здесь "парная формула" неприменима: $D=1+16=17$. Корни трёхчлена: $k_{1,2}\dfrac{-1\pm\ \sqrt{17}}2$.
Так как дополнительное условие: $k<0$, то решение будет таким: $k$ меньше отрицательного корня, то-есть, $k<\dfrac{-1-\sqrt{17}}2$. Это и есть ответ.
Пример: $k=-3$; $-3<\dfrac{-1+\sqrt{17}}2$; $-3x^2+4x-3+1>0$; $3x^2-4x+3-1<0$; $3x^2-4x+2<0$; уравнение не имеет решений, так как $D'=4-6<0$. Для вычисления дискриминанта применена "парная формула". Спросите преподавателя, что это за формула.

[Satankain]

А вы не подскажите что за формула такая?

[spaits]

Satankain в сообщении #423818 писал(а):

А вы не подскажите что за формула такая?

Не подскажете? Подскажу.
Не обязательно применять "парную формулу" корней квадратного уравнения.
Вы можете вычислять корни и по обычной формуле. Результат будет тот же.
Если коэффициент $b$ квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ делится на $2$, то его можно представить в виде $b=2k$. Подставьте это значение в формулу корней и сократите дробь на $2$, "парную формулу" получите сами.