О вычислении криволинейного интеграла II рода с неопр.

[Alfucio]

Здравствуйте!

Пытаюсь решить задание № 53 в параграфе 10 из сборника задач Кудрявцева и др., том III, стр. 268 (Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Том 3... — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003):

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой Г, пробегаемой так, что ее внутренность остается слева:
$\[\int\limits_C {\frac{{dx - dy}}{{x + y}}} \]$,
где C — граница квадрата с вершинами $(1;0),\;(0;1),\;( - 1;0),\;(0; - 1)$.

Я попробовал начать вычислять данный интеграл без применения функции Грина, просто следуя по кривой.

Начинаю вычислить по отрезку от $(0;1)$ до $( - 1;0)$, тогда
$\[\int\limits_{C_1} {\frac{{dx}}{{x + y}}} - \int\limits_{C_1} {\frac{{dy}}{{x + y}}} \]$ (правомерно ли разбитие?).

Рассматриваемый отрезок — часть прямой $y = x + 1$.

Рассмотрим $\[\int\limits_{{C_1}} {\frac{{dx}}{{x + y}}} \]$:
$\[\int\limits_{{C_1}} {\frac{{dx}}{{x + y}}} = - \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{dx}}{{x + x + 1}}} = - \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{dx}}{{2x + 1}}} \]$.

Последний интеграл не определен, если я правильно понимаю. Брать его в смысле главного значения мы не имеем право, по-моему.

Но тогда можно сделать, что и весь интеграл не определен?

Почему я стал решать не через формулу Грина? При вычислении таким образом тоже получается интеграл вида $\[\int\limits_a^b {\frac{{dx}}{x}} ,a < 0 < b\]$.

Ответ же для этого задания в сборнике: $-4$.

Подскажите, пожалуйста, где я ошибаюсь.

[svv]

Есть "опасная" прямая $x+y=0$, или $y=-x$. Из четырех отрезков, составляющих контур интегрирования, эту прямую пересекают два отрезка: $[(0, +1);(-1,0)]$ и $[(0,-1);(+1,0)]$. Это плохо. Но спасает то, что именно для этих отрезков $dx-dy=0$ (так как на них $x-y=\mathrm{const}$). Вы можете считать, что интеграл по этим отрезкам равен нулю.

[Alfucio]

Да, действительно, получается, что разделять криволинейный интеграл по $dx$ и $dy$ нельзя. А если не разделять и считать криволинейный интеграл отдельно по каждой из четырех отрезков, то для двух интегралов (которые получаются неопределенными) по прямым, параллельным прямой $y = x$, нужно считать как несобственные с особенностью в середине этих двух прямых, и все получается хорошо.

Но тогда получается, что в задании ошибка: через формулу Грина нельзя решить данную задачу?

[Ales]

Alfucio в сообщении #421181 писал(а):

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой Г, пробегаемой так, что ее внутренность остается слева:
$\[\int\limits_C {\frac{{dx - dy}}{{x + y}}} \]$

$dx - dy=d(x-y)$
У Вас квадрат устроен так, что вдоль одной пары противоположных сторон $d(x-y)=0$ - эти стороны можно сразу выкинуть, вдоль другой пары $d(x+y)=0, x+y =\pm1$.

-- Вт мар 15, 2011 18:37:56 --

Alfucio в сообщении #423235 писал(а):

Но тогда получается, что в задании ошибка: через формулу Грина нельзя решить данную задачу?

$\int \limits_{-1}^{1}\frac 1 {x^2}dx=-\frac 1 {x} \bigg | \limits_{-1}^{1}=-2$ - то же самое, формула Грина - это формула Ньютона-Лейбница на плоскости, но ее можно применять, если функция не имеет особенностей в области интегрирования.

[Alfucio]

Извините, пожалуйста, не совсем Вас понимаю.

Посчитать этот интеграл просто как криволинейный получается, я описал это в предыдущем сообщении после помощи svv.

Однако, если считать его по формуле Грина, то нужно вычислить двойной интеграл по данному квадрату:
$\int\limits_{} {\int\limits_{} {\left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}} \right)\;dx\;dy} } $

Я разбиваю указанный двойной интеграл на два, первый из них (по части квадрата, которая лежит справа от оси ординат):
$\int\limits_{} {\int\limits_{} {\left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}} \right)\;dx\;dy} } = 2{\mkern 1mu} \int_{ - 1}^0 \left( {\int_{ - x - 1}^{x + 1} \frac{1}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}dy} \right){\mkern 1mu} dx = \[2{\mkern 1mu} \int_{ - 1}^0 \left( { - \frac{1}{{2x + 1}} - 1} \right){\mkern 1mu} dx\]$

Но интеграл $\[\int_{ - 1}^0 \left( { - \frac{1}{{2x + 1}}} \right){\mkern 1mu} dx\]$ неопределен, если я правильно понимаю. И тогда не совсем понятно, можно ли говорить о вычислении указанного в задании криволинейного интеграла через формулу Грина?

[Ales]

Alfucio в сообщении #423306 писал(а):

И тогда не совсем понятно, можно ли говорить о вычислении указанного в задании криволинейного интеграла через формулу Грина?

Думаю, что в Вашей задаче нельзя применять формулу Грина. Что имели в виду авторы задачника - не совсем ясно.

[svv]

Да, в этой задаче скрыта проблема, причем все условия подобраны так, чтобы проблему эту замылить.

Чему равен интеграл $\int \int \left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)dx\,dy $? Если находить интегралы типа $\int \limits_{-1}^0 \frac{1}{2x + 1} dx$ в смысле главного значения (получится $0$), то мы даже придем к тому ответу $-4$, что указан в сборнике.

Хорошо, лукавые методы дают $-4$. Но подынтегральная функция $\frac 1 {(x+y)^2}$ (там, где она определена) положительна -- как же получился отрицательный результат? Интеграл этот расходится, так как имеет при $t=x+y=0$ особенность $t^{-2}$. И правильное его значение (как предела): $+\infty$.

Вы правы, формулу Грина здесь использовать нельзя.

Ales писал(а):

$\int \limits_{-1}^{1}\frac 1 {x^2}dx=-\frac 1 {x} \bigg | \limits_{-1}^{1}=-2$ - то же самое

Хороший пример. К такому виду мы придем, если перейти к переменным $\xi=y+x$, $\eta=y-x$:
$\int \int \left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)dx\,dy = \int\limits_{\eta=-1}^{+1}\int\limits_{\xi=-1}^{+1} \frac {d\xi \,d\eta}{\xi^2}=2 \int\limits_{-1}^{+1} \frac {d\xi}{\xi^2}$.
Здесь легче понять суть проблемы и разгадку:
-- при дифференцировании игнорируется бесконечный отрицательный скачок первообразной $-1/\xi$ в нуле;
-- при интегрировании $1/\xi^2$, если не обращать внимания на явную расходимость интеграла и "тупо" находить первообразную, бесконечный отрицательный скачок незаметно возвращается на место.

[Alfucio]

Спасибо большое!

(Прошу прощения за позднюю реакцию.)