Уравнение в частных производных 2-го порядка

[GreyFist]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста решить уравнение: $x\in R, t>0.$

$$ \begin{cases} u_{t}=u_{xx}-x^2u \\ u(x,0)=1 \end{cases} $$

[Vince Diesel]

Звездочка это умножение или свертка?

[GreyFist]

Vince Diesel в сообщении #423209 писал(а):

Звездочка это умножение или свертка?

Это умножение. Поправил).

[Vince Diesel]

Стандартный инструмент для задачи Коши - преобразование Фурье по $x$, однако здесь оно приведет к тому же уравнению. Непонятно, можно ли воспользоваться этим обстоятельством. Можно еще попробовать преобразование Лапласа, но там будет ОДУ, решения которого не выражаются в элементарных функциях.

Если сделать замену $u=ve^{x^2/2}$, то получится задача $v_t=v_{xx}+2xv_x+v$, $v(x,0)=e^{-x^2/2}$. После преобразование Фурье получится задача Коши для уравнения первого порядка, решение которой можно (в принципе) найти методом характеристик. Теоретически решаемо, если не окажется на каком-то этапе, что где-то что-то не выражается через элементарные функции. Это учебная задача?

[GreyFist]

Задача с олимпиады кафедры Дифуров МГУ. Я пробвал разные замены, но ничего путного так и не получил(.

-- Вт мар 15, 2011 18:58:01 --

Не могли бы Вы подробнее описать про преобразование Фурье? Спасибо.

[Vince Diesel]

Вот если бы начальное условие было бы $u(x,0)=e^{-x^2/2}$, то при преобразовании Фурье задача переходила бы в себя и решение соответственно имело бы вид $u(x,t)=C(t)e^{-x^2/2}$, дальше легко. Вот это была бы хорошая задача

-- Вт мар 15, 2011 19:01:38 --

Что именно про преобразование Фурье? Уравнение для $v$ перейдет в $\tilde v_t=-2(\xi \tilde v)_\xi+(1-\xi^2)\tilde v$.

[GreyFist]

Может тут можно найти функцию Грина? И решение выразить через неё?

[Vince Diesel]

В виде ряда можно выписать несомненно. По крайней мере, найти несколько членов. Свернется ли он во что-то хорошее, непонятно. Функция Грина будет решением задачи, которая получается из исходной преобразованием Фурье

[GreyFist]

Правильно ли я понимаю, что новым граничным условием будет $\tilde v(\xi,0)=e^{-\xi^2/2}$?

-- Вт мар 15, 2011 19:22:26 --

Тогда решение есть:

$$\tilde v(\xi, t)=e^{ -t-\xi^2/4-e^{-4t}\xi^2/4} $$

[Vince Diesel]

Да. Кстати, поиск решения в виде $u=e^{x^2 a(t)+b(t)}$ похоже, приводит к успеху.

[GreyFist]

Проверьте пожалуйста мое решение).

[Vince Diesel]

Хм, это просто надо в уравнение подставить

[GreyFist]

Спасибо Вам за помощь! Я нашел решение:

$$u(x,t)=\sqrt{\frac{2}{1+e^{4t}}}e^{\frac{x^2}{2}\frac{1-e^{4t}}{1+e^{4t}}+t}$$