Задачи по алгебре

[Chester]

1. Найдите функцию, обратную заданной функции y=f(x).

y=Ln$\frac {x}{2x-4}$

Прошу помочь написать решение задачи, т.к. я не совсем понимаю, что нужно сделать

2. Найдите наименьшее значение z=x+2y, если х и у удовлетворяют условиям:

$ \left\{ \begin{array}{l} x\geqslant 0; y\geqslant 0,\\ |3x+2y-12|\leqslant 6,\\ |x-y|\leqslant 6 \end{array} \right. $

Это задание мне помогли "решить" с помощью умной математической программы. Ответ x=2; y=0. Меня интересует решение.

3. Заменяя приращение функции дифференциалом, найдите приближенное значение величины.

$\sqrt[4]{80}$

Не совсем понятно задание. Я просто "упростил" это, и получил ответ 2*$\sqrt[4]{5}$

4.Найдите экстремумы следующих функций.

$y=x^3exp(-x)$

Интересует, как найти производную, приравнять её к нулю, найти х, определить максимумы и минимумы.

5. Потроить функцию и её график.

y=$\frac {2^2x+5x-2}{2^2x-5x+2}$

А также найти
1. Область определения функции.
2. Четность, нечетность.
3. Периодичность.
4. Точки пересечения с осями координат.
5. Исследование на точки экстремума и монотонность.
6. Построение графика функции.

Буду очень признателен за помощь!

[photon]

1) Для начала определите, что такое обратная функция
2) Раскройте модули и рассмотрите отдельно случаи, когда выражения под модулями положительны и когда отрицательны
3) следует отметить, что $80=81-\Delta$
4) Чему равна производная произведения? чему равна производная степенной функции? чему равна производная от експоненты? - это вещи табличные - их надо просто запомнить
5.1) Определите, когда знаменатель обращается в 0
5.2)Какая функция называется четной? Нечетной?
....

[Chester]

photon писал(а):

1) Для начала определите, что такое обратная функция

Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = j (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x).
Всё равно я понятия не имею, с чего начинать. Подскажите!

2) Раскройте модули и рассмотрите отдельно случаи, когда выражения под модулями положительны и когда отрицательны

3x+2y-12=0
3x+2y=12
x=0, y=6
x=2, y=3

x-y=6
x=0, y=6
x=2, y=3

z=x+2y
z=0+2*6=12
z=2+2*3=8

Ответ: z=8 - наименьшее значение z.

Правильно?

3) следует отметить, что $80=81-\Delta$

Не совсем понял, при чём тут дельта? С чего начинать? Можно поподробнее?

4) Чему равна производная произведения? чему равна производная степенной функции? чему равна производная от експоненты? - это вещи табличные - их надо просто запомнить

У меня получился ответ
$f'(x)={3x^2}{e^-^x}+x^3{e^-^x}$
$f'(x)={x^2}{e^-^x}(3+{x^2})$

Проверьте, правильно?

5.1) Определите, когда знаменатель обращается в 0

${2x^2}-5x+2=0$
D=25-4*2*2=25-16=9
X1=4; X2=1

5.2)Какая функция называется четной? Нечетной?

2. Функция у = f (x) называется чётной, если она не меняется, когда независимое переменное изменяет только знак, то есть, если f (-x) = f (x). Если же f (-x)= - f (x),то функция f (x) называется нечётной.

Не понимаю, как определить в мом примере...

3. Периодичность. X=1, X=4, на отрезке будет - потом + потом - .
т. пересечения с осью 0Y x=0, y=4
т. пересечения с осью 0X x=1, y=0; x=4, y=0

4. т. Экстремума x=2.3, y=2.1

5. График начертил. Как выложить - хз. И надо ли?

[RIP]

1) Вам надо просто выразить $x$ через $y$, т.е. решить уравнение

$$\ln\frac x{2x-4}=y$$

относительно $x$(смотрите на $y$ как на параметр).

[photon]

Chester писал(а):

X1=4; X2=1

нет, квадратное уравнение вы решили неверно.

[RIP]

3) Предлагается использовать приближенную формулу

$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$$

Могу подсказать насчет функции и точки $x_0$. Возьмите $f(x)=\sqrt[4]x$ и $x_0=1$. Учитывая подсказку photon'а, попробуйте решить задачу. Ещё небольшая подсказочка: $81=3^4$.

2) Можно решать задачу геометрически. Нарисуйте множество точек $(x,y)$, заданное неравенствами на $x,y.$ (Подсказка: неравенство $|ax+by+c|\leqslant d$ задает полосу между прямыми $ax+by+c=d$ и $ax+by+c=-d$) Затем посмотрите, как расположены прямые вида $x+2y=m$ при разных $m$. Подумайте, при каком минимальном $m$ прямая будет пересекаться с вышеуказанным множеством.
P.S. Ваше решение я, мягко выражаясь, не понимаю.

4) Производную Вы посчитали неправильно. Чему равна производная $(e^{-x})'=?$

Добавлено спустя 5 минут 34 секунды:

5.2) В определение (не)четной функции еще входит условие, что область определения функции симметрична относительно нуля(т.е. если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже)

[Chester]

RIP писал(а):

1) Вам надо просто выразить $x$ через $y$, т.е. решить уравнение

$$\ln\frac x{2x-4}=y$$

относительно $x$(смотрите на $y$ как на параметр).

А как мне избавиться от Ln и от дроби? Никак не въеду в решение. Даже не представляю. Может Вы дадите подсказки по-весомей?

RIP писал(а):

3) Предлагается использовать приближенную формулу

$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$$

Могу подсказать насчет функции и точки $x_0$. Возьмите $f(x)=\sqrt[4]x$ и $x_0=1$. Учитывая подсказку photon'а, попробуйте решить задачу. Ещё небольшая подсказочка: $81=3^4$.

2) Можно решать задачу геометрически. Нарисуйте множество точек $(x,y)$, заданное неравенствами на $x,y.$ (Подсказка: неравенство $|ax+by+c|\leqslant d$ задает полосу между прямыми $ax+by+c=d$ и $ax+by+c=-d$) Затем посмотрите, как расположены прямые вида $x+2y=m$ при разных $m$. Подумайте, при каком минимальном $m$ прямая будет пересекаться с вышеуказанным множеством.
P.S. Ваше решение я, мягко выражаясь, не понимаю.

4) Производную Вы посчитали неправильно. Чему равна производная $(e^{-x})'=?$

Добавлено спустя 5 минут 34 секунды:

5.2) В определение (не)четной функции еще входит условие, что область определения функции симметрична относительно нуля(т.е. если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже)

3) Откуда взялась дельта Х? Я в тупике. Не понимаю, что нужно сделать.

2) Хорошо объяснили, иду рисовать. Спасибо.

4) Ответ получился $f'(x)={x^2}{e^-^x}$ Правильно?

5) Х1=0.5 Х2=2 Извините, ошибка чисто арифметическая. Списывал с тетради...
А остальное всё правильно?

[LynxGAV]

Chester писал(а):

А как мне избавиться от Ln и от дроби? Никак не въеду в решение. Даже не представляю. Может Вы дадите подсказки по-весомей?

Вспомните экспоненциальную функцию.

[Chester]

LynxGAV писал(а):

Chester писал(а):

А как мне избавиться от Ln и от дроби? Никак не въеду в решение. Даже не представляю. Может Вы дадите подсказки по-весомей?

Вспомните экспоненциальную функцию.

Вспомнил. Никаких идей в голову не пришло. Можно поподробнее объяснить мне, потому что я даже примерно не понимаю, что тут можно сделать.

[photon]

Плохо вспомнили. Вам нужно выразить $x$ через $y$.
Что будет, если вы сделаете так:

$$e^{\ln\frac x{2x-4}}=e^y$$

[zrz]

Chester писал(а):

LynxGAV писал(а):

Chester писал(а):

А как мне избавиться от Ln и от дроби? Никак не въеду в решение. Даже не представляю. Может Вы дадите подсказки по-весомей?

Вспомните экспоненциальную функцию.

Вспомнил. Никаких идей в голову не пришло. Можно поподробнее объяснить мне, потому что я даже примерно не понимаю, что тут можно сделать.

Видимо если $ y = lnx $, то $ x = e^y $