доказать что оператор непрерывно обратим

[majitel3]

помогите, пожалуйста решитьзадачу, вот условие:

пусть Е-банахово пространство, $A \in \mathbb{L(E)}$ , и || I-A ||<1. доказать, что оператор А непрерывно обратим.

[ewert]

Представьте $A$ как $I+B$, разложите обратный в формальный ряд как геометрическую прогрессию, докажите, что ряд сходится по норме и непосредственным умножением проверьте, что он действительно даёт обратный.

[majitel3]

спасибо большое. сейчас попробую!

-- Пн мар 14, 2011 17:12:21 --

ewert в сообщении #422855 писал(а):

разложите обратный в формальный ряд как геометрическую прогрессию

а можете об этом поподробнее? =)

-- Пн мар 14, 2011 17:15:22 --

А = I + B + B^2 + B^3 +.... так?

[ИСН]

минусплюсминус

[ewert]

Это -- конструктивное доказательство. Но можно и в лоб, просто по неравенству треугольника:

$\|Ax\|=\|x+(A-I)x\|\geqslant\|x\|-\|(A-I)x\|\geqslant\|x\|-\|A-I\|\cdot\|x\|=c\|x\|,$
$\quad c>0.$

[majitel3]

мне сказали решать по теореме, об обратимости оператора, близкого к тождественному, это получается достаточно доказать что оператор А ограничен, и пользоваться теоремой?

[ewert]

majitel3 в сообщении #422874 писал(а):

мне сказали решать по теореме, об обратимости оператора, близкого к тождественному,

Это ровно та самая теорема и есть.

[majitel3]

решила так, сказал не правильно , надо обозначать B= I - A , доказать что он линейный, и I - ему тождественный, а потом пользоваться теоремой. а как доказать линейность и тождественность?