Погода: помогите дорешить (две точки на шаре с одинаковыми с

[Bulinator]

Вчера предложили задачу:
Имея ввиду, что погода на планете меняется непрерывно доказать, что обязательно существуют две диаметрально противоположные точки в которых она одинакова.

Решение: Пусть на сфере задана непрерывная функция $f:S^2\to \mathbb{R}$. Рассмотрим точку с координатами $(\varphi_0,\theta_0)$ и диаметрально противоположную ей :$(\varphi_0+\pi,\theta+\pi/2)$. Если в этих точках значения функции равны, то утверждение доказано. Если же нет, соединим эти точки любой непрерывной кривой $(\varphi(t),\theta(t))$ :$(\varphi(0),\theta(0))=(\varphi_0,\theta_0)$, $(\varphi(1),\theta(1))=(\varphi_0+\pi,\theta_0+\pi/2)$ и введем в рассмотрение функцию $h(\varphi,\theta)$ равную разности значний функции $f$ в данной точке и в диметрально противоположной. Тогда, если в точке $t=0$ функция $h$ имела значаение $h_0$, то в точке $t=1$, она бадет иметь значение $-h_0$. Т. к. непрерывная функция на концах отрезка имеет значения с разными знаками, то она обязательно обращается в нуль где-нибудь по середине.
Утверждение доказано.

Далее я начал думать: а ведь доказано немного больше: на любом отрезке, соединяющем две диаметрально противоположные точки, функция $h$ обращается в нуль. Можно ли отсюда сделать заключение о множнстве решений $h=0$?
Пусть точка $(\varphi',\theta')$ является решением уравнения $h=0$. Рассмотрим новую кривую $(\tilde{\varphi})(t),\tilde{\theta}(t))$ такую, что она отличается от исходной $(\varphi(t),\theta(t))$ только в малой окрестности точки $(\varphi',\theta')$. Если в этой окрестности, функция $h$ не обращается в нуль, (т.е. $(\varphi',\theta')$ есть какое-то особенное решение), то $h$ должна обращаться в нуль где-нибудь еще. В любом случае, на любой кривой $h$ должна иметь хотя бы один нуль, а это, видимо, значит, что:
множество решений не может быть счетным, ибо в противном случае обязательно найдутся две ДП точки и соединяющая их кривая на которой функция $h$ не обращается в нуль. Существует как минимум 1 односвязное подмножество множества решений уравнения $h=0$ гомеоморфное $S^1$.
Помогите, пожалуйста, формализовать утверждения и доказать их.

[Someone]

Bulinator в сообщении #418607 писал(а):

Имея ввиду, что погода на планете меняется непрерывно доказать, что обязательно существуют две диаметрально противоположные точки в которых она одинакова.

Что значит - "одинаковая"?
Мне встречалась более точная формулировка: доказать, что найдётся пара диаметрально противоположных точек, в которых температура и атмосферное давление одинаковые.
В чисто математической формулировке: доказать, что для любого непрерывного отображения $f\colon S^2\to\mathbb R^2$ найдётся пара диаметрально противоположных точек $s_1,s_2\in S^2$, для которых $fs_1=fs_2$. (Иначе говоря, для любой пары непрерывных действительных функций на сфере найдётся пара диаметрально противоположных точек сферы, в которых каждая из этих функций принимает одинаковые значения.)
Кстати, легко привести пример функций, для которых требуемая пара точек только одна: если сфера $S^2$ задана уравнением $x^2+y^2+z^2=1$, то для точки $(x,y,z)\in S^2$ положим $u(x,y,z)=x$ и $v(x,y,z)=y$.

[Padawan]

Someone в сообщении #418649 писал(а):

доказать, что для любого непрерывного отображения $f\colon S^2\to\mathbb R^2$ найдётся пара диаметрально противоположных точек $s_1,s_2\in S^2$, для которых $fs_1=fs_2$.

Доказательство. $\mathbb R^2$ отождествляем с $\mathbb C$.
Для плоской непрерывной кривой $z=z(t)$, $t\in [a,b]$, не проходящей через начало координат, $\Delta \arg z(t)|_{t=a}^b$ будет обозначать приращение аргумента $z(t)$ при движении по кривой.
Для точки $s\in S^2$ диаметрально противоположную точку будем обозначать $-s$.
Рассмотрим функцию $g(s)=f(s)-f(-s)\colon S^2\to \mathbb C$. Она непрерывна на $S^2$ и "нечётна", т.е. $g(-s)=-g(s)$. Надо показать, что существует точка $s\in S^2$ такая, что $g(s)=0$.
Зафиксируем какой-либо большой круг сферы -- "экватор". Пусть $s=s(t)$, $t\in [0,2\pi]$, -- его параметризация, и пусть $z(t)=g(s(t))$, $t\in [0,2\pi]$, -- параметризация образа экватора при отображении $g$.
Предположим, что $g(s)\neq 0$ для любого $s\in S^2$. Так как $g(S^2)$ -- компактное подмножество плоскости, то найдутся числа $r,R>0$, что $r\leqslant |g(s)|\leqslant R$ для всех $s\in S^2$.
Рассмотрим число $N=\frac{1}{2\pi}\Delta z(t)|_{t=0}^{2\pi}$ -- это целое число (это известный факт? Вроде это как-то связано с фундаментальной группой окружности. $N$ имеет смысл числа оборотов кривой вокруг нуля). Покажем, что $N\neq 0$. Имеем $N=N_1+N_2$, где $N_1=\frac{1}{2\pi}\Delta z(t)|_{t=0}^{\pi}$, $N_2=\frac{1}{2\pi}\Delta z(t)|_{t=\pi}^{2\pi}$. В силу нечетности $g$, $z(\pi+t)=-z(t)$ при $t\in [0, \pi]$, поэтому $N_2=N_1$. Если бы $N=N_1+N_2=0$, то $N_1=N_2=0$, что невозможно, так как в силу $z(0)=-z(\pi)$, $N_1$ есть полуцелое число. Значит, $N\neq 0$.
Будем теперь непрерывно стягивать экватор в точку -- к "полюсу" сферы. Тогда кривая $z(t)$ в плоскости также будет деформироваться в точку, причём отличную от нуля. Так как число $N$ изменяется непрерывно при непрерывной деформации кривой $z(t)$, то оно сохраняет постоянное значение. Но в окрестности полюса $N=0$. Противоречие.

[Maslov]

По-моему, это частный случай теоремы Борсука-Улама.

[Bulinator]

Someone, Padawan, Maslov большое спасибо.
Но все-же, можно ли утверждать, что если из сферы выбросить счетное кол-во точек, то она останется односвзяной? Как это формально доказать?

[PAV]

Аналогичная тема http://dxdy.ru/topic27682.html