3.1. Показать, что линейные функции

(где

) составляют базис пространства

тогда и только тогда, когда не сушествует ненулевого вектора

, для которого

для всех

.

Пусть

-- сопряжённый базис к

. Пусть существует

, для которого

. Тогда

, что противоречит предположению

.

(тут сомнения!
я запутался совсем...) Опять от противного: пусть

-- не базис

существует такие

, не все равные нулю, что

(

-- нулевая функция). По условию, для любого вектора

не все

равны нулю. По естественному изоморфизму

вектору

соответствует линейная функция

(обозначим её так же,

). При этом

. Рассмотрим

(выражение в первых скобках

), но, с другой стороны, оно не равно нулю, т. к. есть отличные от нуля

. Противоречие.
-- 13 мар 2011, 00:30 --Ой. Может быть

и

не равняться нулю при разных

: сумма будет нулевой, противоречия не будет. Тогда не знаю, что с

делать
