Не решился пойти прямо к математикам :) Зачем нам дифуры?

[Alifer]

Сразу поясню, что я здесь новенький.
Моя научная деятельность до этого времени была не особенно связана с математикой. Как правило все ограничивалось уравнениями регрессии или статистикой.

На сегодняшнем этапе, после проведения эксперимента мне необходимо смоделировать ход роста растения. Есть универсальная логистическая модель - (K-N)/K вокруг которой вертится 90 % известных на сегодня моделей, но здесь возникает трудность. Заключается она в общем в применении дифференциальных уравнений.
Я перечитал доступную в инете литературу, перерыл конспекты лекций по Вышке, но никак не могу почувствовать "до глубины естества" ЗАЧЕМ нужны ДУ. Чего такого в действительности не позволяют делать обыкновенные уравнения по сравнению с ДУ?

Все что я увидел из доступного объяснения: "Определенный тип задач требует применение ДУ. ДУ это..." уравнения содержащие независимую переменную, функцию от нее и производную. А что это дает?

Если читающий данное экспозе сможет как-то вразумительно мне объяснить - зачем нужны при моделировании роста ДУ, а обычные уравнения мне не помогут, то размер моей благодарности будет безграничен.

Если я не указал какой-либо важной информации, могу дополнить свое «Введение» в проблему.
Заранее спасибо и надеюсь услышать отзывы.

ЗЫ: Я ОЧЕНЬ хочу разобраться с этим вопросом и мое обращение на форум скорее знак того что сам я уже не потяну всего прочитанного "обобщить".

[Brukvalub]

Коротко о диф. ур-ниях: предположим, что Вы не можете наблюдать течение некоторого процесса в ходе изменения времени , но знаете зависимость скорости изменения нужных вам характеристик этого процесса как функции от времени. Тогда Вы можете написать д.у., и его решением будет как раз функция, выражающая зависимость уже не скорости изменения характеристики процесса, а самой этой характеристики от времени. Здорово! Например, скорость уменьшения массы радиоактивного вещества в каждый момент времени прямо пропорциональна его массе. Этот факт легко превратить в д.у. и, решив его, найти закон уменьшения массы этого вещества с течением времени. Только не подумайте, что после прочтения этого текста Вы уже узнали все о применении д.у. - это не так. Их применение в технике существенно шире и разнообразней вышесказанного, но все изложить невозможно-тогда нужно писать учебник. Я просто пытался дать Вам самое простое представление о способах применения д.у.

[Dan_Te]

Вообще, диффуры и УРЧПы применяются тогда, когда (по-простому так) скорость изменения изучаемой величины зависит от времени, пространственных координат или иных переменных. Вот, например, модель Вольтерра-Лотка (система хищник-жертва): темп прироста популяции хищников непостоянен, в каждый момент времени он зависит от размера популяции хищников и жертв. Поэтому можно написать и решить диффур, тем самым спрогнозировав поведение двух популяций на отрезке времени.

[Alifer]

Большое спасибо протянувшим руку помощи.

В очередной раз перечитывая статьи, я еще больше загораюсь сделать тоже самое только для моей задачи.
Например:
1) "Динамические модели разв ития сред неширотного лес а" Интересуюшая меня модель находится там в разделе "Базовая модель" http://www.keldysh.ru/papers/2005/prep2 ... 05_23.html
2) "Модели рование влияния возраст ных эффе ктов на развитие лесных биоце нозов". Это то что я хотел бы сделать (только не для леса - те без конкуренции видов):
http://www.keldysh.ru/papers/2005/prep2 ... 05_24.html
3) Очень интересно, но пока не понятно что откуда взялось - http://library.timacad.ru/sources/elect ... mamich.htm

Я провел опыты на одном из интересующих меня виде растений, и изменяя влажность и плодородие почвы (азотным удобрением) получил приведенные ниже графики. Синие кривые были базовыми в данном опыте и константами в другом.
Вкратце это выглядит так:
График прироста при изменении влажности:
Синий - оптимальная влажность (ОВ)
Красный - 75 % ОВ
Оранжевый - 60 % ОВ


График прироста при изменении плодородия по азоту:
Синий - 0 кг/га
Красный - 250 кг/га
Оранжевый - 400 кг/га


Чего я хочу от модели?
Задавая например влажность почвы и показатель плодородия (пока только по азоту) хотелось бы получить расчетную высоту растения.

Как уже упоминал во "Введении" - не понимая принципа применения ДУ нет возможности а главное нет смысла развивать это дальше.

Если чего не добавил, прошу уточнить. Допишу.

зы:
(В планах хотелось бы добавить еще несколько важнейших критериев, как например интенсивность освещения, влияние фосфора, температуру окружающей среды, относительную влажность воздуха. Для каждого из данных критериев я могу позднее провести лабораторный опыт и посмотреть как изменяется действительный прирост.)

[LynxGAV]

Dan_Te писал(а):

Вообще, диффуры и УРЧПы применяются тогда, когда (по-простому так) скорость изменения изучаемой величины зависит от времени, пространственных координат или иных переменных. Вот, например, модель Вольтерра-Лотка (система хищник-жертва): темп прироста популяции хищников непостоянен, в каждый момент времени он зависит от размера популяции хищников и жертв. Поэтому можно написать и решить диффур, тем самым спрогнозировав поведение двух популяций на отрезке времени.

Это начало прошедшего века.

Эта ссылка соответствует середине прошедшего века. (Ой, да еще и 2005 год..) Хотя никто не говорит, что эти модели не соответствуют действительности.

Я думаю, что Вам вряд ли следует углубляться в детали в следующей книге, но тут есть некоторые из современных методов (хотя уже не новинка...). Чтобы составлять современные модели, надо очень хорошо разбираться в уже существующих и моделируемом явлении. Я в лесе не разбираюсь, хотя методами динамических система пользуюсь, поэтому давайте попробуем начать с самого простого.

Что именно за растение или растения вы моделируете? Вас интересует модель одновременного роста нескольких растений или нет? Какую роль будет играть почва? (Надо ли ее выделять в отдельную переменную). Остается ли она постоянной и только добавляются удобрения? Если смотреть на высоту вашего растения, то это явно не лес.. То есть вряд ли переменной будет биомасса, скорее высота растения.

Устраивает ответ в виде: выращивается растение "х" в тепличных условиях. Кустики находятся на достаточном расстоянии друг от друга (их искусствено так высаживают), поэтому особи между собой не конкурируют. Света/воды/удобрений тоже всем хватает. Достаточно выяснить как изменится рост конкретного растения в зависимости от всех предложенных параметров (ими все же лучше не употреблять..) или надо выяснить как изменится рост в среднем по 1 га. Размножаются ли растения? Я считаю, что переменными должны быть -- ... (например, в ссылке там были объем биомассы хвойного и лисвенного лесов и обобщенный показатель плодородия).

Добавлено спустя 7 минут 11 секунд:

Alifer писал(а):

Как уже упоминал во "Введении" - не понимая принципа применения ДУ нет возможности а главное нет смысла развивать это дальше.

Мне тоже пока не понятно, есть ли смысл использовать ДУ .

[Alifer]

LynxGAV писал(а):

1) Что именно за растение или растения вы моделируете?
2)) Вас интересует модель одновременного роста нескольких растений или нет?
3) Какую роль будет играть почва? (Надо ли ее выделять в отдельную переменную). Остается ли она постоянной и только добавляются удобрения? Если смотреть на высоту вашего растения, то это явно не лес.. То есть вряд ли переменной будет биомасса, скорее высота растения.

1) Растения - это вер ба и специальный вид то поля.
2) Нет это не лес, скорее насаждение (да в принципе в моем случае это не играет значения), а конечным результатом будет конечно же объем биомассы на 1 га. Но в связи с тем, что планируется исследовать разную плотность посадки, то для начала необходимо установить влияние факторов на отдельную особь. Если модель будет адекватной, в нее нужно будет включать внутривидовую конкуренцию для старших и густых насаждений. (рассматриваются только одновидовые насаждения)
3) Плодор одие почвы в основном уравнении прироста пока можно учесть коэффциентом например (1,5...1...0,1). Позднее необходимо вводить переменную и отдельное урав нение.

LynxGAV писал(а):

Устраивает ответ в виде: выращивается растение "х" в тепличных условиях. Кустики находятся на достаточном расстоянии друг от друга (их искусствено так высаживают), поэтому особи между собой не конкурируют. Света/воды/удобрений тоже всем хватает.
Достаточно выяснить как изменится рост конкретного растения в зависимости от всех предложенных параметров....

Да, именно так. Меня на данном этапе это и интересует. Для данных простейших условий я хочу понять КАК составить уравнения и посмотреть как "это" работает.

[Alifer]

Хорошо, пользуясь тем что никто не видит моего стыда, спрошу прямо "в лоб".
1) Приведенная здесь "Базовая модель" включает два уравнения:


Объясните мне пожалуйста, откуда автор взял например переменные уравнения
du/dt= (kCV-D)*u в этой модели:

1) это формально записанные автором рассуждения: "вид увеличивается с учетом конкуренции(ну например пусть будет С), скорости потребления ресурса (V) и естественной смертности ( D), а для придания большей реалистичности для различных видов надо учесть где нибудь какой нибудь коэффициент роста (k)". Садится и расписывает уравнение с учетом своих "размышлений". Тоже самое касается и обобщенного показателя плодородия P. Так или нет?
2) Это уравнение уже готово для подстановки значений или его надо интегрировать;
3) в каком моменте и почему эти уравнения являются дифференциальными;

[LynxGAV]

Alifer писал(а):

Хорошо, пользуясь тем что никто не видит моего стыда, спрошу прямо "в лоб".
1) Приведенная здесь "Базовая модель" включает два уравнения:


Объясните мне пожалуйста, откуда автор взял например переменные уравнения
du/dt= (kCV-D)*u в этой модели:

1) это формально записанные автором рассуждения: "вид увеличивается с учетом конкуренции(ну например пусть будет С), скорости потребления ресурса (V) и естественной смертности ( D), а для придания большей реалистичности для различных видов надо учесть где нибудь какой нибудь коэффициент роста (k)". Садится и расписывает уравнение с учетом своих "размышлений". Тоже самое касается и обобщенного показателя плодородия P. Так или нет?
2) Это уравнение уже готово для подстановки значений или его надо интегрировать;
3) в каком моменте и почему эти уравнения являются дифференциальными;

3) Дифференциальные, потому что входят функции и их производные..

2) Вы можете подставить конкретные численные значения параметров и проинтегрировать и получите обобщенный показатель плодородия и объем биомассы с течением времени для этого случая.

Такие модели могут работать весьма плохо, если плохо подобраны параметры (!). Но могут отображать главные черты эволюции системы (примеры на сайте -- вымирание леса, смена леса х лесом у), наблюдаемые в природе. Кроме того, надо правильно выбрать временные единицы. (В целом, не думаю, что с большой точностью удастся предсказать выручку, если захочется все деревья спилить и продать через пять лет. Наверное, подобными вопросами занимаются в более специализированных институтах. Математика описывает поведение системы в целом.)

Можно поступить более разумно. Найти стационарные решения системы в зависимости от всех параметров и далее построить фазовую/бифуркационную диаграмму в пространстве всех параметров. Тогда можно будет сказать, при каких значениях параметров лес будет расти, или будет чахнуть, или два леса будут сменять друг друга, или вообще все вымрет во веки веков. Такой анализ точен с точки зрения математики (и достаточно прост, потому что система уравнений линейна), но с реальной жизнью -- он будет иметь общие черты или надо очень правильно и точно все эти параметры измерять.

1) du/dt= (kCV-D)*u.

Да, афтор где-то так и рассуждал (на основе экспериментальных фактов). Только вид уменьшается за счет естественной смертности деревьев, поэтому это слагаемое идет со знаком минус. Вряд ли конкуренция идет на пользу деревьям, скорее гасит их рост, потому и вводится какой-то коэффициент конкуренции.

[Alifer]

LynxGAV писал(а):

3) Дифференциальные, потому что входят функции и их производные..

Ну по теории так, но только пожите пожалуйста где здесь функции, а где производные. Не поймите что я над Вами извеваюсь, но мне очень не хватает мат. образования.

[LynxGAV]

du(t)/dt= (kCV-D)*u(t)

Красный -- производная от функции u, синий -- функция u. В ссылке производная по времени обозначается точкой над функцией.

[Alifer]

LynxGAV писал(а):

2) Вы можете подставить конкретные численные значения параметров и проинтегрировать и получите обобщенный показатель плодородия и объем биомассы с течением времени для этого случая.

Наверно это последний вопрос после которого модератор уже заблокирует мой ip.

А не моглибы вы еще подробнее описать на примере данного уравнения как это будет выгляеть его интегрирование (с любыми числами). (сначала подставляются численные параметры а потом интегрируется?).

[Alifer]

Подскажите пожалуйста.

[Brukvalub]

Сначала интегрируются все вторые уравнения системы:каждое из них интегрируется одинаково, меняется только коэффициент перед функцией u в правой части, я его обозначил буквой к.

$$u' = k\,u \Leftrightarrow \frac{{du}}{{dt}} = k\,u \Leftrightarrow \frac{{du}}{u} = k\,dt \Leftrightarrow \int {\frac{{du}}{u}} = k\,\int {dt} \Leftrightarrow $$

$$\ln \left| u \right| = k\,t + C_1 \Leftrightarrow \left| u \right| = e^{k\,t} \cdot e^{c_1 } \Rightarrow u = Ce^{k\,t}$$

Затем найденные функции u подставляются в первое уравнение, и это уравнение превращается в линейное уравнение первого порядка, обычно решаемое методом вариации постоянной. Для этого сначала решают вспомогательное однородное линейное уравнение, убирая из исходного уравнения все слагаемые, не содержащие функцию Р, и в полученном решении, зависящем от произвольной константы С, считают эту константу функцией С(t) переменной t, подставляют такую запись в исходное уравнение, получают диф. уравнение на С(t),и, решив его, получают окончательный ответ. Вот только поможет ли все это Вам, ведь это только некие отрывочные сведения, которые не объясняют всей теории решения диф. уравнений. Чтобы грамотно использовать д.у. в своей работе, сначала неплохо бы их подучить. Например, почитав какой-либо из этих учебников: Понтрягин Л.С. — Обыкновенные дифференциальные уравнения, Степанов В.В. — Курс дифференциальных уравнений, Петровский И.Г. — Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, или еще какой-нибудь.

[LynxGAV]

Какие преподаватели не сдержанные..

Alifer, обратите внимание на константы интегрирования и параметры (уравнения интегрируются в общем виде). В семействе решений $u = Ce^{k\,t}$, $k=k_i C_i V_i - D_i$ и сразу видно, что плотность биомассы растет только если $k>0$, т.е. если естественная смертность деревьев не велика, что в нормальных условиях должно выполняться, с другой стороны коэффициент роста велик и т.д. Чтобы найти константы интегрирования $C$, надо задать начальные условия -- плотность биомассы и обобщенный показатель плодородия в некоторый момент времени.

[Alifer]

Спасибо огромное за доходчивое объяснение, хорошая получилась бы статейка для начинающего Ботаника .
Возьму несколько деньков на "обобщение" прочитанного ранее с учетом Вашей помощи . Наконец хоть что-то начинает проясняться в этом лесу.

Попутно возник еще один вопрос. Есть одна статья, начало которой становиться понятной и нормально "укладываться" учитывая написанное Вами. Только есть в статье, например система:

которая пока не понятно, почему не интегрируется "по-вашему", а сразу определяются приращения х и у. и тут-же приводится листинг программы:

rx:=.01; ry:=.01; t(1):=0; x(1):=20; y(1):=1; dt:=1; 
Kx:=100; Ky:=200;
for i:=2 to 2001 do
begin
t(iI):=i-1;
x(i):= x(i-1) + rx * x(i-1)*(1-(x(i-1)+y(i-1)) / Kx) *dt;
у(i):= y(i-1) + ry * y(i-1)*(1-(x(i-1)+y(i-1)) / Ky) *dt;
end

Оно конечно интегрируется, но дальше и для нахождения уравнения кривой и именно так как Вы описали в предыдущих постах.






Чем тогда отличается смысл "численного интегрирования" в коде программы от интегрирования для получения уравнения кривой. Разве только получением уравнения сразу описывающим кривую?
Может по аналогии мне не достаточно аналогичного численного интегреровая для определения приращения u и P