умножаем и дифференцируем p раз в F_p[x]/<x^p>

[Руст]

Дядя Фёдор писал(а):

вношу поправку - дело в том, что расширение степени к будет иметь мултипликативную группу из p^k - 1 элементов и там конечно будут элементы цтепень которых не есть р, так что будут и другие собственные значения.

Это не так. Пусть L любое линейное преобразование над Zp и пусть f(x) минимальный многочлен, такой что f(L)=0. Возводя это в p-ую степень получим, что f(L^p)=0. Поэтому хаpактеристические корни одни и те же. Соответственно указанное alpha равно 1 или 0. Последнее возможно только если все корни нули. 1 возможно только если все ненулевые Жордановые клетки имеют размерность 1.

[Дядя Фёдор]

Вот нашел решение,

\alpha =(f'(\theta))^{p-1}, \theta - любой корень неприводимого множителя наименьшей степени (из поля или его расширения).



таким образом это действительно линейное отображение, корнями будут не только 0 и 1,
например при f(x) = x^2 + 1, p = 3 это 2.

Вообще - если есть квадраты - это ноль,иначе, если есть корень в поле - это 1 и тд., заодно получаем несколько интересных свойств - доказательство -

Пусть \theta - любой корень, тода перепишем нашу матрицу оператора L в базисе (x - \theta)^n тогда заметим, что если этот корень квадрат, то матрица нильпотента и альфа = 0, иначе она имеет все разные диагональные элементы вида i*f_1, i = \overline{0, p-1} и значит будет иметь все разные собственные значения (вообще говоря в некотором расширении поля).
Значит каждый вектор ( второй полином) раскладывается в сумму из собственных векторов.
Применим наш оператор p раз и заметим, что собственное значение - это (f_1)^{p-1} который можно считать по формуле которую я написал вверху и если корень не кратный, и собственное значение не ноль, то её можно записать так
\alpha =\frac{f'(\theta^p)}{f'(\theta)} , заметим потом, что этот элемент принадлежит исходному полю так как можно было выбрать любой корень и поэтому степень р этого выражения равна ему самому. Кроме того все элементы степени р данного поля являют собой подполе, значит его мощность - степень р, но так как все они порядка р, то их там ровно р, а так как все элементы исходного поля именно таковы и их ровно р, то не-элементов исходного поля там быть не может - значит это линейое отбражение над исходным полем.

[Руст]

Дядя Фёдор писал(а):

Вот нашел решение,
\alpha =(f'(\theta))^{p-1}, \theta - любой корень неприводимого множителя наименьшей степени (из поля или его расширения).

Всё верно. Просто надо уточнить, что $\theta - корень многочлена f(x), (а не многочлена обнуляющего оператор или f'(x)). Когда f(x) делится на х, то $\theta $ корень многочлена f(x)/x.
Точнее $\alpha =0$ если f(x) имеет кратный корень (это видно и из формулы Дядя Фёдора).
Если f(x) не имеет кратных корней, то Жорданова форма диагональная матрица, $\alpha =1$, если f(x) делится на х, но не делится на x^2
и $\alpha=\lambda^{p-1}=\frac{f'(\theta ^p)}{f'(\theta )}$, где $\theta$ указанный выше корень f(x).