Уравнение Пуассона

[sithif]

Привет,
помогите отследить ошибки в моих рассуждениях. Решею уравение Пуассона
$\Delta u = \rho $
для заданного распределения пространственного заряда. В первом случае заряд распределен как
$\rho = e^{-r^2 / {r_0}^2}$
и это бесконечный цилиндр по $z$. Граничные условия Дирехле, $u(b,\alpha)=0$.
Из симметрии задачи следует, что первые производные по $z$ и $\alpha$ равны нулю, поэтому просто получаем ду второго порядка по $r$, которое просто интегрируется,
$u(r)=\int 1/r \int r \rho(r) dr$. Как я понимаю, двойной интеграл даст две константы, а условие только $u(b)=0$. Это меня и смущает.
В другом случае $\rho = 1 $ для $r < a/2 $ и ноль, если $r > a/2 $. ГУ те же. Здесь нужно решать и Пуассона и Лапласа, соответственно решения будут,
$u(r<a/2)= \int 1/r \int r dr = r^2/4 + c_1 ln(r) + c_2$
$u(r>a/2)= s_1 ln (r) + s_2 $
Получили 4 константы. Подскажите как правильно сшить решения.

п. с. если можете посоветовать материал по сабжу, буду очень признателен!

[ewert]

Ну вот и первая ошибка: где пределы-то интегрирования?... или, что примерно эквивалентно: где произвольные постоянные-то?... и вообще, что отслеживать-то?...

[Himfizik]

Выпишите ВСЕ граничные условия отдельно, присмотритесь...Что можно сказать о непрерывности/разрыве потенциала/поля...

[sithif]

Все граничные условия такие,

$u(b)=0$
$u( \frac {a-} 2)=u(\frac {a+} 2)$
$u'(\frac {a-} 2)=u'(\frac {a+} 2)$

четвертую константу видно нужно выбирать произвольно? если меня интересуют относительные изменения потенциала.

[Vince Diesel]

Еще одно условие - ограниченность решения в нуле.

[sithif]

Кажется теперь все ясно, всем спасибо!

[sithif]

Хотя мне остается не ясно как поступать в случае, когда распределение задано в виде,
$\rho = e^{-r^2}$
В этом случае вид решения такой,
$u(r)=c_1+c_2\ln(r)+\int {dr \frac {e^{-r^2}} r}$
В нуле и логарифм и этот интеграл ведут себя как минус бесконечности. Может есть способ это интеграл вычислить в смысле главного значения в нуле?

[Vince Diesel]

Главного значения тут не получится, но при $c_2=-1$ будет интеграл $\int \frac{e^{-r^2}-1}r\,dr$ с функцией без особенности в нуле.

[sithif]

Спасибо, Vince Diesel!