Как вычислять изгиб

[Reactor9]

Вот представьте что у нас есть высокое здание на земле и на котором положен длинный стержень который под собственным весом будет изгибаться:

Если мы знаем массу, длину, толщину и все остальные свойства стержня (настолько мне известно еще нужно знать Модуль Юнга) то каким образом можно вычислять значение этого изгиба? Есть для этого готовые формулы?

[b099ard]

Оффтоп:
А как ты будешь рисовать такой стрежень?
Секционно по маленьким цилиндрикам?

[Reactor9]

b099ard в сообщении #420641 писал(а):

Оффтоп:
А как ты будешь рисовать такой стрежень?
Секционно по маленьким цилиндрикам?

А зачем рисовать?

[Munin]

Вообще это задача на уравнение изгиба толстого стержня, очень сложное. Но она может быть сильно упрощена, если приближённо считать изгиб малым, и поэтому форму стержня - какой-нибудь простой, например, дугой окружности или параболы.

[Reactor9]

Munin в сообщении #420691 писал(а):

Вообще это задача на уравнение изгиба толстого стержня, очень сложное. Но она может быть сильно упрощена, если приближённо считать изгиб малым, и поэтому форму стержня - какой-нибудь простой, например, дугой окружности или параболы.

Да, допустим что изгиб не очень большой и прямолинейный стержень превратился в дуг, так вот-есть формула согласно которой можно вычислять (хоть бы приближенно) величина изгиба?

[Munin]

Можете сами вывести.

[Reactor9]

Munin в сообщении #420876 писал(а):

Можете сами вывести.

Не могу, я не Физик и не знаю как это делается

[VPro]

То, что Вы ищете, называется уравнением тяжелой нити или уравнением цепной линии, что одно и то же. Посмотрите, например, здесь http://www.exponenta.ru/educat/class/test/hyperb/10.asp

[Шимпанзе]

Ну что Вы, какая еще нить.... Не усложняйте, для нити другие законы. Во-первых, изгиб балки вопрос не для физиков, а для технического раздела, как он сюда попал не понятно.. Поэтому уже к нити перешли . Во-вторых, уравнения прогиба выводится , действительно, элементарно, но решается довольно трудно для неучей : выползает диф. уравнение второй степени. Поэтому есть готовые формулы для различных длин и пролетов балок, надо смотреть в интернете. Думаю даже есть готовые таблицы.

[Munin]

VPro в сообщении #420897 писал(а):

То, что Вы ищете, называется уравнением тяжелой нити или уравнением цепной линии, что одно и то же.

Увы, нет. У стержня уравнение сложнее. ЛЛ-7 глава 2.

Reactor9 в сообщении #420894 писал(а):

Не могу, я не Физик и не знаю как это делается

В том приближении, которое вы согласились принять, достаточно знаний школьной физики.

-- 08.03.2011 23:12:31 --

Шимпанзе в сообщении #420912 писал(а):

Во-вторых, уравнения прогиба выводится , действительно, элементарно, но решается довольно трудно для неучей : выползает диф. уравнение второй степени.

Четвёртой.

[VPro]

Шимпанзе в сообщении #420912 писал(а):

Ну что Вы, какая еще нить.... Не усложняйте, для нити другие законы. Во-первых, изгиб балки вопрос не для физиков, а для технического раздела, как он сюда попал не понятно.. Поэтому уже к нити перешли . Во-вторых, уравнения прогиба выводится , действительно, элементарно, но решается довольно трудно для неучей : выползает диф. уравнение второй степени. Поэтому есть готовые формулы для различных длин и пролетов балок, надо смотреть в интернете. Думаю даже есть готовые таблицы.

Да эта задача относится именно к техническому разделу. Это единственное, что Вы написали верно.
Во- первых, длинный кабель - это не балка а именно нить, нагруруженная собственным весом и растягивающей силой. Я даже спорить дальше не буду в виду очевидности вопроса.
Во-вторых, уравнение изгиба тонкого призматического стержня (балки) не второго, а четвертого порядка и в решении его ничего трудного нет.

(Оффтоп)

Наконец, в третьих, я полагаю, что лучше не встревать в вопрос, которым не владеешь.

[Munin]

(Оффтоп)

VPro в сообщении #420950 писал(а):

Наконец, в третьих, я полагаю, что лучше не встревать в вопрос, которым не владеешь.

Не обращайте внимания, Шимпанзе здесь во всё встревает...

[VPro]

Прошу прощения, ввел всех в заблуждение. Я почему-то решил, что речь идет о кабеле.

(Оффтоп)

Просто совсем недавно сам решал подобную задачку с кабелем, определяя требуемую длину. А тут увидел знакомую картинку...

Что же, если речь идет о балке (стержне), то конечно --- никаких нитей. Балка она балка и есть.
Чтобы загладить вину привожу уравнения. В первом приближении для стержня постоянного сечения решение удовлетворяет уравнению:
$\frac{d^4y}{dz^4}=-\frac{\rho g\cos\alpha}{EJ_x}$.
Здесь $y(z)$ --- уравнение упругой линии изгиба, $\rho$ --- удельная плотность (погонный вес, кг/м), g --- ускорение свободного падения, $\alpha$ --- угол между стержнем и поверхностью, $ E$ --- модуль Юнга (сталь: $E=2,1\times 10^{11}$), $ J_x$ --- момент инерции сечения стержня (для прямоугольного сечения $J_x=\frac{bh^3}{12}$, $h$ --- высота, $b$ --- ширина сечения).
Поскольку рассматриваемую балку можно считать шарнирно-опертой, то начальные условия на концах балки имеют вид: $y(0)=0, y''(0)=0, y(L)=0, y''(L)=0$.
Собственно говоря, все. Решаем, получаем полином 4-го порядка. Мне уже лень его выписывать.

Примечания:
1. Задача рассмотрена при условии, что продольная составляющая от весовой нагрузки ---$\rho g\sin\alpha$, не оказывает существенного влияния на поведение балки. Грубо говоря, балка устойчива при продольном нагружении (т.е. если ее поставить на "попа", она не сложиться под собственым весом).
2. Для получения истинного уравнения прогиба, нужно из уравнения прямой линии (состояние ненагруженной балки) вычесть полученное решение $y(z)$.
3. Пишу по памяти, поэтому во избежание ошибок, рекомендую заглянуть в любой справочник по теории упругости.

[Шимпанзе]

Вы все правильно делаете,  но с позиции чистой физики. Если же задачу рассматривать с технической стороны - а именно так обстоит дело , прочтите первый пост,- то задачка решается гораздо проще.  В частности, диф. уравнение будет второй степени, как писал: а именно  
 $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{M(x)}{EJ}\cos\alpha $.     

    Ясно, что интересен максимальный прогиб балки , момент на середине балки равен:

$M(L/2)=\frac{\rho gL^2}{8}$

Далее никаких проблем.

[VPro]

Шимпанзе в сообщении #421263 писал(а):

Вы все правильно делаете,  но с позиции чистой физики. Если же задачу рассматривать с технической стороны - а именно так обстоит дело , прочтите первый пост,- то задачка решается гораздо проще.  В частности, диф. уравнение будет второй степени, как писал: а именно  
 $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{M(x)}{EJ}\cos\alpha $.     
Ясно, что интересен максимальный прогиб балки , момент на середине балки равен:
$M(L/2)=\frac{\rho gL^2}{8}$
Далее никаких проблем.

И так нет никаких проблем, все решается легко. А Вы, если хотите получить именно уравнение линии изгиба, то должны получить зависимость момента $M(x)$ по значению распределенной нагрузки $q(x)=-\rho g\cos\alpha$. И непременно придете к моему уравнению четвертой степени. Чудес не бывает.

(Оффтоп)

Кстати, к физике я практически не имею отношения. А вот балок разных пересчитал немеряно...