Вопрос по лемме (многообразии)

[maxmatem]

Вот никак не могу уловить связь между леммами.
Лемма 1.
Рассмотрим евклидово пространство $R^{n}$
Пусть$ \[ A,B \subset R^n \]$ - два непересекающихся подмножества, причём $A$ замкнуто и ограничено , $B$ замкнуто и
$\[ A \cap B = \emptyset \] $. Тогда существует функция$ \[ \phi (x) \in C^\infty (R^n ) \]$ такая , что $\[ \phi (x) \equiv 1 \]$ на $A$ и$ \[ \phi (x) \equiv 0 \]$ на $B$. При этом всюду $\[ 0 \leqslant \phi (x) \leqslant 1 \]$

Лемма 2.

Пусть $C$-компактное подмножество гладкого многообразия $M$; пусть $\[ C \subset V \]$, где $V$- открытое подмножество $M$. Тогда существует функция $\[ \phi (x) \in C^\infty (M) \]$ такая, что $\[ 0 \leqslant \phi (x) \leqslant 1 \]$ на $M$, $\[ \phi (x) \equiv 1 \]$ на $C$, и $\[ \phi (x) \equiv 0 \]$ вне $V$.

Вопрос именно в том , что при доказательстве леммы 2, в книге написано "Эта лемма уже доказана нами для случая $M=R^{n}$(смотри лемму 1.)

Вот и смотрю я на лемму 1 , и не пойму что там играет роль $V$ ? ясно , что роль $C$ из леммы 2 выполняет $A$ из леммы 1.


Кстати . часто пишут, что всякое гладкое многообразие можно покрыть открытыми шарами, а вот что такое открытый шар в произвольном гладком многообразии????

[Someone]

maxmatem в сообщении #420818 писал(а):

Вот и смотрю я на лемму 1 , и не пойму что там играет роль $V$ ? ясно , что роль $C$ из леммы 2 выполняет $A$ из леммы 1.

Естественно, $V=\mathbb R^n\setminus B$.

maxmatem в сообщении #420818 писал(а):

что такое открытый шар в произвольном гладком многообразии????

Поищите определение там, где Вы это вычитали, могут быть разные определения.

[maxmatem]

Someone
Просто в этой книге этого нет, вот может вы какое нибудь определение дадите??

И ещё вот скажем есть компактное множество ,в $R^{n}$, у него есть покрытие конечным числом сфер, можно же уменьшить эти сферы чтобы они всё ещё составляли покрытие ... мне кажется что можно, но только как ?
кстати спасибо что ответили про множество $V$.

[Someone]

Возможен, например, такой вариант определения шара в многообразии. Пусть $x_0\in M$ - некоторая точка многообразия. Рассмотрим любую карту (принадлежащую рассматриваемому атласу), содержащую данную точку, то есть, это два открытых множества $U\subseteq\mathbb R^n$, $V\subseteq M$ и гомеоморфизм $\varphi\colon V\xrightarrow{\text{на}}U$, причём, $x_0\in V$.
Теперь берём точку $x'_0=\varphi x_0$, любой шар $W'\subseteq\mathbb R^n$ с центром в точке $x'_0$, удовлетворяющий условию $W'\subseteq U$, и называем шаром в многообразии $M$ множество $W=\varphi^{-1}W'$.

maxmatem в сообщении #420842 писал(а):

И ещё вот скажем есть компактное множество ,в $R^{n}$, у него есть покрытие конечным числом сфер, можно же уменьшить эти сферы чтобы они всё ещё составляли покрытие ... мне кажется что можно, но только как ?

Пусть $K\subset\mathbb R^n$ - наше компактное множество, $W_1,W_2,\ldots,W_n\subset\mathbb R^n$ - открытые шары, $K\subset\bigcup\limits_{k=1}^nW_k$. Предполагаем, что набор шаров минимальный, то есть, если любой шар выкинуть, то последнее включение не будет выполняться.
Обозначим $F_1=K\setminus\bigcup\limits_{k=2}^nW_k$. Это компактное множество, поэтому найдётся точка $x_1\in F_1$, для которой расстояние до множества $\mathbb R^n\setminus W_1$ наименьшее среди всех точек множества $F_1$. Обозначим это наименьшее расстояние $d_1$, а $r_1$ - радиус шара $W_1$. Теперь возьмём любое число $r'_1$, удовлетворяющее неравенству $r_1-d_1<r'_1<r_1$ и открытый шар $W'_1$ радиуса $r'_1$ с тем же центром, что и $W_1$.
Шар $W_1$ мы, таким образом, можем заменить меньшим шаром $W'_1$. Затем так же заменяем $W_2,\ldots,W_n$.

[maxmatem]

Someone

Цитата:

Это компактное множество, поэтому найдётся точка $x_1\in F_1$, для которой расстояние до множества $\mathbb R^n\setminus W_1$ наименьшее среди всех точек множества $F_1$.

Это место не совсем ясно...почему из компактности такое следует??? и кстати почему получившийся набор образует покрытие?

[Someone]

maxmatem в сообщении #420939 писал(а):

почему получившийся набор образует покрытие?

Потому что $F_1\subset W'_1$. Нарисуйте, отметьте радиусы, расстояния...

maxmatem в сообщении #420939 писал(а):

Someone

Цитата:

почему из компактности такое следует?

А Вы знаете, что такое компактное пространство?

Теорема. Всякая непрерывная функция на непустом компактном пространстве ограничена и имеет на нём наименьшее и наибольшее значения.
Доказательство. Пусть $X$ - компактное пространство, и пусть $g\colon X\to\mathbb R$ - непрерывная функция. Докажем сначала, что функция $g$ ограничена на $X$. Для каждого $k\in\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$ положим $U_k=g^{-1}(-k,k)$. Множества $U_k$ открыты, так как $g$ непрерывна, и образуют покрытие пространства $X$. Так как $X$ компактно, это покрытие содержит конечное подпокрытие $\{U_{k_1},U_{k_2},\ldots,U_{k_n}\}$. Обозначим $M=\max\{k_1,k_2,\ldots,k_n\}$. Тогда $X=\bigcup\limits_{j=1}^nU_{k_j}=U_M$ и, следовательно, $|gx|<M$ для всех $x\in X$.
Обозначим теперь $m=\inf\{gx:x\in X\}$. Так как $g$ ограничена, то $m\in\mathbb R$ (более того, $-M\leqslant m<M$). Нужно доказать, что найдётся такая точка $x_0\in X$, что $gx_0=m$ для всех $x\in X$.
Предположим, что такой точки не существует, то есть, что $gx>m$ для всех $x\in X$, но, вместе с тем, по определению $\inf$ для каждого $\varepsilon>0$ существует такая точка $x\in X$, что $gx<m+\varepsilon$. Для каждого $k\in\mathbb N$ положим $V_k=g^{-1}\left(m+\frac 1k,M\right)$. Тогда $\{V_k:k\in\mathbb N\}$ - бесконечное покрытие пространства $X$, из которого нельзя выбрать конечного подпокрытия, что противоречит компактности $X$. Поэтому сделанное предположение неверно, и требуемая точка $x_0$ существует.
Аналогично - для наибольшего значения. $\qed$

[maxmatem]

Someone

Цитата:

А Вы знаете, что такое компактное пространство?

конечно знаю. (Из всякого открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие)Т.е на основании этой теоремы, можно сделать вывод что

Цитата:

найдётся точка $x_1\in F_1$, для которой расстояние до множества $\mathbb R^n\setminus W_1$ наименьшее

[maxmatem]

Цитата:

Нарисуйте, отметьте радиусы, расстояния...

нарисовал, но что всё равно мне не ясно почему вы рассматриваете наим. расстояние до множества $\mathbb R^n\setminus W_1$ ?? почему именно до него?

[Someone]

А до чего же надо рассматривать расстояние, если Вы желаете шар $W_1$ ужать до меньшего шара? И как определить, на сколько его можно ужать?

[maxmatem]

Someone
Я очень благодарен за ваше терпение но всё же у меня есть вопросы...вот я пытался нарисовать случай когда $n=2$. Т.е покрытием является два концентрических открытых круга $W_{1}$ и $W_{2}$, а множество $K$ находится в их объединении. тогда$ \[ F_1 = K\backslash W_2 \] $ но тогда$ \[ K\backslash W_2 = K \]$ верно?

[Someone]

maxmatem в сообщении #421165 писал(а):

покрытием является два концентрических открытых круга $W_{1}$ и $W_{2}$

Someone в сообщении #420878 писал(а):

Пусть $K\subset\mathbb R^n$ - наше компактное множество, $W_1,W_2,\ldots,W_n\subset\mathbb R^n$ - открытые шары, $K\subset\bigcup\limits_{k=1}^nW_k$. Предполагаем, что набор шаров минимальный, то есть, если любой шар выкинуть, то последнее включение не будет выполняться.

Покрытие из двух концентрических кругов не удовлетворяет указанному условию, так как меньший круг можно выкинуть совсем.

maxmatem в сообщении #421165 писал(а):

$F_1 = K\setminus W_2$ но тогда $K\setminus W_2 = K$ верно?

???

[maxmatem]

Someone

Цитата:

maxmatem в сообщении #421165 писал(а):
$F_1 = K\setminus W_2$ но тогда $K\setminus W_2 = K$ верно?

это бред, согласен.

Тогда объясните, как должны находится два этих шара чтобы компактное множество содержалось в их объединении? и кстати вы говорили о ф-и на компактном пространстве, я правильно понял что эта функция и есть расстояние от точки $x_{1}$ до множества $\mathbb R^n\setminus W_1$ ?

Вот ещё вопрос возник .

$C$-компактное подмножество гладкого многообразия $M$; пусть $\[ C \subset V \]$, где $V$- открытое подмножество $M$. Тогда в силу компактности $C$, существует набор открытых координатных окрестностей $U_{1}$,...,$U_{N}$ и набор компактных множеств $S_{1}$,...,$S_{N}$ такие что $\[ C \subset \bigcup\limits_{i = 1}^N {S_i } \,,S_i \subset U_i \] $ и $\[ \bigcup\limits_{i = 1}^N {U_i \subset V} \] $

Я как понял что из того , что $C$ компактное множество можем заключить, что существует конечный набор $U_{1}$,...,$U_{N}$ такой что $\[ C \subset \bigcup\limits_{i = 1}^N {U_i } \] $, да же если допустить что для всякой окрестности существует компактное подмножество , то почему $C$ должно входить в их объединение??

[Someone]

maxmatem в сообщении #421276 писал(а):

объясните, как должны находится два этих шара чтобы компактное множество содержалось в их объединении?

Ну как... Нарисуйте в качестве $K$ что-нибудь эдакое..., ну, слегка вытянутое (не очень). И с одного конца накройте часть $K$ одним кругом, а с другого - другим. Чтобы вместе они всё $K$ покрывали, а то ещё третий круг понадобится.

maxmatem в сообщении #421276 писал(а):

вы говорили о ф-и на компактном пространстве, я правильно понял что эта функция и есть расстояние от точки $x_{1}$ до множества $\mathbb R^n\setminus W_1$ ?

Ну да, $g(x)=d(x,\mathbb R^n\setminus W_1)$. Непрерывность только надо проверить, если это уже где-нибудь не было проверено.

maxmatem в сообщении #421276 писал(а):

Я как понял что из того , что $C$ компактное множество можем заключить, что существует конечный набор $U_{1}$,...,$U_{N}$ такой что $\[ C \subset \bigcup\limits_{i = 1}^N {U_i } \] $, да же если допустить что для всякой окрестности существует компактное подмножество , то почему $C$ должно входить в их объединение?

Какой ужас у Вас в кодах формул... Выкиньте Вы этот редактор формул на помойку, пишите сами.
Сначала найдите координатные множества $U_k$, $k=1,2,\ldots,N$, покрывающие $C$. Этот набор можно считать минимальным, то есть, никакое меньшее число этих множеств не покрывает $C$ (если есть лишние множества, их выкинем). Тогда поочерёдно для $k=1,2,\ldots,N$ строите множество

$$F_k=C\setminus\left(\bigcup\limits_{j=1}^{k-1}U'_j\cup\bigcup\limits_{j=k+1}^NU_j\right)$$

(непустые и компактное), $F_k\subseteq U_k$. Кроме того, пусть $\varphi_k\colon U_k\xrightarrow{\text{на}}V_k\subseteq\mathbb R^n$ - координатный гомеоморфизм.
Множество $\Phi_k=\varphi_kF_k\subseteq V_k$ компактно как непрерывный образ компактного множества. Покрываете его конечным числом открытых шаров, ужимаете эти шары с помощью леммы об ужатии (http://dxdy.ru/post420842.html#p420842); замыкания ужатых шаров лежат в $V_k$ и компактны; объединяете эти замыкания (получаете компактное множество $S'_k$) и сами ужатые шары (получаете открытое множество $V'_k$), и с помощью обратного гомеоморфизма получаете множества $S_k=\varphi^{-1}S'_k$ и $U'_k=\varphi^{-1}V'_k$.

Но доводить всё это до ума Вам придётся самому.

[maxmatem]

Someone
Спасибо, буду разбираться.