Уравнение в целых числах

[Trueman]

Вот придумал задачку для олимпиады городской среди школьников, оцените кто может уровень сложности. Может кто-нибудь захочет решить. $\left(x+2006\cdot e^{2006-x}\cdot y^{2006}\right)\cdot e^{y+1003}=2006\cdot \left( y+1\right)\cdot e^{x+y-1003}$

[Lion]

Если предполагалось решение в целых числах (а иначе решений бесконечно много), решить можно так: переписываем уравнение в виде $x=2006((y+1)\cdot e^{x-2006}-y^{2006}\cdot e^{2006-x})$, дальше в силу транцендентности функции $e^u$ получаем, что $x=2006, y=1$.

[RIP]

Вряд ли школьники знакомы с теоремой Линдемана-Вейерштрасса
P.S. Упустили $y=0$.

[Trueman]

Lion писал(а):

Если предполагалось решение в целых числах (а иначе решений бесконечно много), решить можно так: переписываем уравнение в виде $x=2006((y+1)\cdot e^{x-2006}-y^{2006}\cdot e^{2006-x})$, дальше в силу транцендентности функции $e^u$ получаем, что $x=2006, y=1$.

Да забыл написать, что в целых числах, хотя хорошо было бы и общее решение увидеть. Действительно, существует решение использующее трансцедентность числа е, поэтому счас думаю заменить его на некоторое алгебраическое иррациональное число . Я имеел ввиду решение состоящее в следующем перепишем уравнение следующим образом $\left( x+e^{2006-x}\cdot 2006\cdot y^{2006}\right)\cdot e^{y+1003}+2006\cdot (y+1)\cdot (-1)\cdot e^{x+y-1003}=0$, будем рассматривать эту сумму как скалярное произведение векторов. Оно равно нулю, значит вектора ортогональны, один из другого получается поворотом на 90 градусов и растяжением в k раз. А значит имеем равенства
$e^{y+1003}=e^{x+y-1003}\cdot k$ и $ x+e^{2006-x}\cdot 2006\cdot y^{2006}=2006(y+1)\cdot k$
откуда сразу находим
$x=2006-\ln k$ и затем уже несложно найти целые значения для y