Привести квадратичную форму к каноническому виду

[b_maria]

$ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right) $ собственные числа $h_1=h_2=1, h_3=4$.
Собственные векторы: для $h_1=h_2=1$
$ $e_1^'$=\left( \begin{array}{c} 1 & 0 & -1\end{array} \right) $ и $ $e_2^'$=\left( \begin{array}{c} 0 & 1 & -1\end{array} \right)$
Собственные векторы для $h_3=4$
$ $e_3^'$=\left( \begin{array}{c} 1 & 1 & 1\end{array} \right)$

Получаем нормированную матрицу перехода:
$ \left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac1\sqrt 2 & \frac1\sqrt 3 \\ \frac1\sqrt 2 & 0 & \frac1\sqrt 3 \\ -\frac1\sqrt 2 & -\frac1\sqrt 2 & \frac1\sqrt 3 \end{array} \right) $
Каноническая форма матрицы:
$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right) $ собственные числа $h_1=h_2=1, h_3=4$.
Вопрос вот в чем: если умножить матрицу перехода на исходную матрицу в новом базисе и на транспонированную матрицу перехода, то должна получиться исходная, а у меня не получается. Может быть неверно найдены собственные вектора?

[caxap]

Проверьте $e_2'$.

b_maria в сообщении #420720 писал(а):

если умножить матрицу перехода на исходную матрицу в новом базисе и на транспонированную матрицу перехода, то должна получиться исходная, а у меня не получается.

Не очень понял. Если $A,A',P$ -- соответственно матрицы в старом, новом базисе и матрица перехода в новый базис, то $A=PA'P^{-1}$. Нормировать матрицу $P$ не обязательно.

[ewert]

b_maria в сообщении #420720 писал(а):

Вопрос вот в чем: если умножить матрицу перехода на исходную матрицу в новом базисе и на транспонированную матрицу перехода, то должна получиться исходная, а у меня не получается. Может быть неверно найдены собственные вектора?

Собственные вектора найдены верно, и подставлены верно; видимо, вы перепутали, с какой стороны ставить прямую матрицу, а с какой -- транспонированную.

[b_maria]

caxap в сообщении #420729 писал(а):

Проверьте $e_2'$.

b_maria в сообщении #420720 писал(а):

если умножить матрицу перехода на исходную матрицу в новом базисе и на транспонированную матрицу перехода, то должна получиться исходная, а у меня не получается.

Не очень понял.


Я тоже)))
Иногда полезно перечитывать то, что пишешь

$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$ - матрица системы при $h_1=h_2=1$, ранг матрицы равен 1(2 неизвестныx задаем произвольно), координаты соответствующего вектора
$ e_2^'$=$ \left( \begin{array}{c} e_1_1 & e_2_1 & e_3_1 \end{array} \right)$ связаны уравнением $e_1_1+e_2_1+e_3_1=0$

Вот дальше мне не очень ясно. Мои вектора получены по аналогии с решенными заданиями на семинаре. Просто сначала одно неизвестное приравняли единице, а второе нулю, а затем наоборот. Вот и два вектора. Может я что-то совсем не так делаю?

[caxap]

Про $e_2$ я ошибся. Не слушайте меня.

[bot]

ewert в сообщении #420762 писал(а):

Собственные вектора найдены верно, и подставлены верно; видимо, вы перепутали, с какой стороны ставить прямую матрицу

Дело не в стороне, для кратного корня требуется найти ортонормированную систему собственных векторов - чтобы обратная матрица совпадала с транспонированной. Именно из-за этого станет безразлично - переходим мы к новому базису в матрице преобразования или в матрице квадратичной формы.