Кубическая шахматная доска

[kocuHyc]

В кубу $2011\cdot 2011\cdot 2011$расставили $2011^2$ ладей так, что ни одна из них не бьет
другую. При каком наименьшем n можно утверждать, что в любом кубу $n\cdot n\cdot n$ стоит хотя бы одна ладья?

Для квадратной доски задача решается очень легко - $\frac{n}{2}+1$ при четном n и $\frac{n}{2}+\frac{1}{2}$ при нечетном. А для кубической?

[age]

kocuHyc в сообщении #420467 писал(а):

Для квадратной доски задача решается очень легко - $\frac{n}{2}+1$ при четном n и $\frac{n}{2}+\frac{1}{2}$ при нечетном. А для кубической?

Не совсем понял. Для доски $3\times3$ правильный ответ $3\neq\dfrac32+\dfrac12$

[MrDindows]

ТС, вы точно не перепутали ладьи с ферзями?)

[age]

Да, похоже на то, что действительно имелись в виду ферзи. Но для доски $5\times5$ решением является $5\neq\dfrac52+\dfrac12$.
Если можно, я бы хотел в дополнение сформулировать ещё одну задачу: сколько ферзей чёрного и белого цвета можно расставить на доске $n\times n$ так, чтобы ни один из них не бил ферзя другого цвета?

[Xenia1996]

age в сообщении #420510 писал(а):

kocuHyc в сообщении #420467 писал(а):

Для квадратной доски задача решается очень легко - $\frac{n}{2}+1$ при четном n и $\frac{n}{2}+\frac{1}{2}$ при нечетном. А для кубической?

Не совсем понял. Для доски $3\times3$ правильный ответ $3\neq\dfrac32+\dfrac12$

Для доски $3\times3$ правильный ответ 2!
А задача Вот отсюда (номер 4).
Забила в Гугл "2011 ладей".

[age]

Вообще че та не пойму Что значит: "При каком наименьшем $n$ в любом квадрате $n\times n$ стоит хотя бы одна ладья"? Насколько я понял в квадрате $2011\times2011$ стоит 2011 ладей, а не одна Или речь про каждый квадратик квадрата $n\times n$? Но в каждом все равно не может стоять хотя бы одна ладья, т.к. тогда они будут бить друг друга.

[MrDindows]

age в сообщении #420526 писал(а):

Вообще че та не пойму Что значит: "При каком наименьшем $n$ в любом квадрате $n\times n$ стоит хотя бы одна ладья"? Насколько я понял в квадрате $2011\times2011$ стоит 2011 ладей, а не одна

В квадрате 2011х2011 стоит то 2011 ладей, но в квадрате $n$х$n$ должна стоять одна...

[age]

MrDindows
Одна? Кого тогда она будет бить!?

[Xenia1996]

age в сообщении #420526 писал(а):

Вообще че та не пойму Что значит: "При каком наименьшем $n$ в любом квадрате $n\times n$ стоит хотя бы одна ладья"? Насколько я понял в квадрате $2011\times2011$ стоит 2011 ладей, а не одна Или речь про каждый квадратик квадрата $n\times n$? Но в каждом все равно не может стоять хотя бы одна ладья, т.к. тогда они будут бить друг друга.

Во-вторых, "хотя бы одна" означает "не менее одной".
В-третьих, почему

Цитата:

Но в каждом все равно не может стоять хотя бы одна ладья, т.к. тогда они будут бить друг друга.

?

Если расставить все ладьи, например, вдоль главной диагонали, то в каждом квадрате $1006\times 1006$ стоит хотя бы одна ладья (проверьте!), тем не менее, ни одна из дадей не угрожает ни одной из остальных.

А во-первых, задача-то школьного уровня, и трудностей, в принципе, вызывать не должна. А вот модификация этой задачи, присланная Викторией Борисовной, действительно на олимпиадный уровень потягивает.

-- Вт мар 08, 2011 11:46:25 --

age в сообщении #420529 писал(а):

MrDindows
Одна? Кого тогда она будет бить!?

Она обязана не угрожать ни одной из остальных ладей (и не важно, в данном квадрате $n\times n$ или вне его).

-- Вт мар 08, 2011 11:56:29 --

kocuHyc в сообщении #420467 писал(а):

В кубу $2011\cdot 2011\cdot 2011$расставили $2011^2$ ладей так, что ни одна из них не бьет
другую. При каком наименьшем n можно утверждать, что в любом кубу $n\cdot n\cdot n$ стоит хотя бы одна ладья?

Для квадратной доски задача решается очень легко - $\frac{n}{2}+1$ при четном n и $\frac{n}{2}+\frac{1}{2}$ при нечетном. А для кубической?

У меня такое подозрение, что ответ тоже 1006, поскольку для одно- и двумерной доски это работает. Лишь бы не вышло, как с курицей Рассела

[age]

Xenia1996 в сообщении #420614 писал(а):

Во-вторых, "хотя бы одна" означает "не менее одной".

Интересно, каким образом в каждом квадрате может стоять более одной ладьи?

Xenia1996 в сообщении #420614 писал(а):

В-третьих, почему

Цитата:

Но в каждом все равно не может стоять хотя бы одна ладья, т.к. тогда они будут бить друг друга.

?

Ну если на доске в 64 клетки будет стоять 64 ладьи (в каждом квадрате хотя бы одна ладья).

-- Вт мар 08, 2011 14:23:10 --

Всё понял, что квадрат $n\times n$ является "подквадратом" квадрата $2011\times2011$, т.е. $n<2011$.

[MrDindows]

В задаче ТС ответ также $\frac{n+1}{2}$.
Так как в каждом квадрате $\frac{n+1}{2}$х$\frac{n+1}{2}$ есть как минимум 1 ладья, то в кубе со стороной $\frac{n+1}{2}$ будет как минимум $\frac{n+1}{2}$ ладей. Для $\frac{n-1}{2}$ строим контрпример, значит $\frac{n+1}{2}$ - минимальное число.

(Оффтоп)

Xenia1996 , с праздником=)

[age]

Xenia1996 в сообщении #420614 писал(а):

У меня такое подозрение, что ответ тоже 1006, поскольку для одно- и двумерной доски это работает. Лишь бы не вышло, как с курицей Рассела

Вы вначале расставьте в кубе $3\times3\times3$ 9 ладей так, чтобы ни одна из них не била другую! А если удары по вертикали не считаются, то не вижу в чём отличие задачи от исходной.

[MrDindows]

Отвечу за Ксению.
По слоям:
0 0 1
0 1 0
1 0 0

1 0 0
0 0 1
0 1 0

0 1 0
1 0 0
0 0 1

[age]

Да, действительно. Понял.

(Оффтоп)

В отличие от Михаил Сергеича поздравлю. С днём 8 марта, великий наш математик Xenia1996

Да, задача с кубами ясна. А что скажете насчёт моей задачи про чёрных и белых ферзей? Для доски $8\times8$ решение у меня есть. Но вот для $n\times n$?

[MrDindows]

Пожалуйста сформулируйте свою задачу по чётче. На доске 8х8 можно поставить 64 белых ферзей, и ни один из них не будет бить ферзя другого цвета)
Так что, количество ферзей того и того цвета должно быть одинаковым?
Число необходимо найти максимальное?
И тогда, надеюсь, что для доски 8х8 у вас ответ 9 ?)