Функция принимающая значение 0 бесконечное число раз

[tavrik]

Задана функция на отрезке ($a,b$)
Известно, что на любом отрезке $I$(частичном ($a,b$) находится х, так что f(х) = 0

верны ли следующие утверждения?

1. f(x) тождественно равна 0
2. Лишь в том случае, что непрерывна.

я ответил что верно только второе утверждение, оказалось неправильно.
Утверждение номер 1 я "опровергнул" функцией Дирихле, которая, вроде бы, принимает значение 0 на любом отрезке...
Почему нельзя опревергнуть с помощ. Дирихле?

[Sonic86]

Мне кажется, у Вас все правильно. Очень даже очевидно, что в любом $(a_1;b_1) \subset (a,b)$ есть $x:D(x)=0$

[мат-ламер]

tavrik. Аккуратно сформулируйте второе утверждение (без ссылок на первое).

[tavrik]

проблема была с первым утверждением.
да и то, видимо, на учебном сайте ошиблись.
Дирихле, действительно, справляется с опровержением.

Спасибо.

[мат-ламер]

Первое утверждение не верно, (это Вы ответили правильно). Второе утверждение тоже не верно (а тут у Вас ошибка).

[ewert]

мат-ламер в сообщении #420331 писал(а):

Второе утверждение тоже не верно

Почему? В смысле какое более слабое требование, чем непрерывность, можно выдвинуть?

[_hum_]

ewert в сообщении #420475 писал(а):

В смысле какое более слабое требование, чем непрерывность, можно выдвинуть?

Неотрицательность и полунепрерывность снизу подойдет?

[мат-ламер]

Может я не правильно понял формулировку второго утверждения?
(Как понимать слово "лишь"?)

Известно, что на любом отрезке $I$(частичном ($a,b$) находится х, так что f(х) = 0.
Это равносильно тому, что $f(x)$ непрерывна.

Из второго утверждения первое очевидно следует. Насчёт того, что из первого следует второе есть сомнения (та же функция Дирихле).

[Simba]

$f: \forall x \in (a;b) (x\not= c, c\in(a;b)), f(x)=0, f(c)=1$ - не константа, разрывная.

Ну если функция константа, она, ясное дело, непрерывна.