Пусть
![$S_n=\sum \limits_{k=1}^n X_k$ $S_n=\sum \limits_{k=1}^n X_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/d/dedc8d4833b2777c6458f598cb419d2882.png)
сумма
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
независимых случайных величин.
Пусть каждая величина
![$X_k$ $X_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/3/1a35cf75b6c416e1e4a2b594e79040e682.png)
имеет нулевое математическое ожидание
![$\mu=0$ $\mu=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/d/b0def8c925f9ac65f543dd0dc2696f6f82.png)
и одну и ту же дисперсию
![$\sigma^2$ $\sigma^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/7/e6718aa5499c31af3ff15c3c594a785482.png)
.
Центральная предельная теорема (ЦПТ) утверждает, что величина
![$\frac 1 {\sigma \sqrt n} S_n$ $\frac 1 {\sigma \sqrt n} S_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/9/6e9403dbb9d015806942686f7cedea7782.png)
будет распределена приблизительно нормально. То есть вероятность того, что
![$\frac 1 {\sigma \sqrt n} S_n \le t$ $\frac 1 {\sigma \sqrt n} S_n \le t$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/d/b1db0a12fdfa35d2bb2e2effd595fc5882.png)
с некоторой точностью равна
![$\frac 1 {\sqrt{2\pi}} \int \limits_{-\infty}^{t}e^{-\frac {x} 2 ^2}dx$ $\frac 1 {\sqrt{2\pi}} \int \limits_{-\infty}^{t}e^{-\frac {x} 2 ^2}dx$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/7/747e6c53d14b34a539d802da34dc3ca782.png)
.
Допустим, что какая-то нормально распределенная величина наблюдается в природе.
Предположим что такое распределение возникает в силу ЦПТ.
Значит эта величина представима в виде
![$\frac 1 {\sigma \sqrt n} S_n = \frac 1 {\sigma \sqrt n}\sum \limits_{k=1}^n X_k$ $\frac 1 {\sigma \sqrt n} S_n = \frac 1 {\sigma \sqrt n}\sum \limits_{k=1}^n X_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/5/5057d7eafcfdd5c2126c45e63c9fddbd82.png)
.
То есть она складывается из
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
независимых случайных величин
![$\frac 1 {\sigma \sqrt n} X_k$ $\frac 1 {\sigma \sqrt n} X_k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/2/22267065a6252d2dfdf2190fa94a815682.png)
, каждая из которых имеет отклонение
![$\frac 1 {\sqrt n} $ $\frac 1 {\sqrt n} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/8/af808cd162f65b6dbb5a56d28dfbb94182.png)
.
Значит нормально распределенные величины - суммы
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
величин порядка
![$\frac 1 {\sqrt n} $ $\frac 1 {\sqrt n} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/8/af808cd162f65b6dbb5a56d28dfbb94182.png)
. Например, сумма
![$100$ $100$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/3/68399e6e2d2d99a90a9e8395f7dc1f1182.png)
случайных величин порядка
![$0.1$ $0.1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/f/22f2e6fc19e491418d1ec4ee1ef9433582.png)
будет распределена нормально.
Но если же число величин
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
и их величина
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
не связаны законом
![$\sigma^2=\frac 1 n $ $\sigma^2=\frac 1 n $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/f/b1fa6557a3a682ccf030d56717441c0582.png)
, то их сумма не будет распределена нормально.
Нет достаточных оснований полагать, что такой закон
![$\sigma^2=\frac 1 n $ $\sigma^2=\frac 1 n $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/f/b1fa6557a3a682ccf030d56717441c0582.png)
обязателен для природы.
Число слагаемых в случайной величине и размер этих слагаемых могут быть какими угодно, и маловероятно что именно такими, чтобы выполнялась ЦПТ.
Значит в природе ЦПТ не применима и нормально распределенных величин в принципе не должно быть.
Поэтому:
знать ЦПТ не надо, изучать не надо, нормальное распределение не нужно, знать его не надо, вся наука (физика, экономика), где нормальное распределение что-то значит, не верна.
Или не так?