Почему у нормального распределения такая функция?

[Ales]

jrMTH в сообщении #419895 писал(а):

Цитата:

Выдумали. По определению. Случайная величина с нормальным распределением по определению обладает вот такой функцией плотности.

Хорошо, а как выдумывали? Я думаю, что вначале получили график, а потом как-то под него функцию придумывали, так ли?
т.е. мне интересно как эта функция раскладывается? за что отвечает каждый компонент: как каждый компонент влияет на отрисовку.

Чтобы понять и разобраться, надо знать доказательство центральной предельной теоремы.

Нормальное распределение не потому, что оно нормально для природы, но потому, что оно хорошо изучено.

[ewert]

Ales в сообщении #420129 писал(а):

Чтобы понять и разобраться, надо знать доказательство центральной предельной теоремы.

Это правда (в том смысле, что надо знать саму теорему; знать её доказательство не обязательно).

Ales в сообщении #420129 писал(а):

Нормальное распределение не потому, что оно нормально для природы, но потому, что оно хорошо изучено.

А это, соответственно, неверно.

[Ales]

ewert в сообщении #420146 писал(а):

Это правда (в том смысле, что надо знать саму теорему; знать её доказательство не обязательно).

Если надо понять, почему распределение средней суммы многих независимых и несущественных величин именно $e^{-x^2}$, то без разбора доказательства, наверное, не обойтись.

[Ales]

Чтобы найти коэффициент при нормальном распределении, надо вычислить интеграл $\int \limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx$.
Это можно сделать так: вычислить интеграл от нормального распределения для двух переменных по четверти плоскости, заменяя повторный интеграл на двойной и переходя к полярным координатам.
$(\int \limits_0^{+\infty}e^{-x^2}dx)^2=(\int \limits_0^{+\infty}e^{-x^2}dx) \cdot (\int \limits_0^{+\infty}e^{-y^2}dy)=\int \limits_0^{+\infty}\int \limits_0^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\int \limits_0^{\frac {\pi} 2}\int \limits_0^{+\infty} e^{-r^2}rdr d \varphi= $
$=\frac {\pi} 4\int \limits_0^{+\infty} e^{-t}dt=\frac {\pi} 4$
$\int \limits_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac {\sqrt \pi} 2$, $\int \limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt \pi$

[Ales]

ewert в сообщении #420146 писал(а):

Ales в сообщении #420129 писал(а):
Нормальное распределение не потому, что оно нормально для природы, но потому, что оно хорошо изучено.

А это, соответственно, неверно.

Хорошо бы, обсудить этот вопрос подробнее:
Все-таки, почему именно нормальное распределение $e^{-x^2}$?
Как оно проявляется в природе и какую роль играют предельные теоремы?
Не преувеличена ли роль этого распределения? Действительно ли оно естественно для природы?
Не навязано ли оно учеными, по той причине, что оно хорошо изучено и обладает удобными алгебраическими свойствами?

Хорошей иллюстрацией является доска Гальтона http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0% ... 0%BD%D0%B0.

[ИСН]

Свойства у него отвратительные (ну, интеграл не берётся в элементарных - куда годится такое!?), а юзают его потому, что оно всё-таки естественно для природы. А почему естественно, объясняют как раз предельные теоремы.

[Ales]

ИСН в сообщении #420238 писал(а):

Свойства у него отвратительные (ну, интеграл не берётся в элементарных - куда годится такое!?), а юзают его потому, что оно всё-таки естественно для природы. А почему естественно, объясняют как раз предельные теоремы.

Я имел в виду то, что сумма независимых нормально распределенных случайных величин тоже имеет нормальное распределение.

[ИСН]

А, ну да, это приятно, но в этом оно не уникально.

[Ales]

Пусть $S_n=\sum \limits_{k=1}^n X_k$ сумма $n$ независимых случайных величин.
Пусть каждая величина $X_k$ имеет нулевое математическое ожидание $\mu=0$ и одну и ту же дисперсию $\sigma^2$.
Центральная предельная теорема (ЦПТ) утверждает, что величина $\frac 1 {\sigma \sqrt n} S_n$ будет распределена приблизительно нормально. То есть вероятность того, что $\frac 1 {\sigma \sqrt n} S_n \le t$ с некоторой точностью равна $\frac 1 {\sqrt{2\pi}} \int \limits_{-\infty}^{t}e^{-\frac {x} 2 ^2}dx$.

Допустим, что какая-то нормально распределенная величина наблюдается в природе.
Предположим что такое распределение возникает в силу ЦПТ.
Значит эта величина представима в виде $\frac 1 {\sigma \sqrt n} S_n = \frac 1 {\sigma \sqrt n}\sum \limits_{k=1}^n X_k$.
То есть она складывается из $n$ независимых случайных величин $\frac 1 {\sigma \sqrt n} X_k$, каждая из которых имеет отклонение $\frac 1 {\sqrt n} $.
Значит нормально распределенные величины - суммы $n$ величин порядка $\frac 1 {\sqrt n} $. Например, сумма $100$ случайных величин порядка $0.1$ будет распределена нормально.
Но если же число величин $n$ и их величина $\sigma$ не связаны законом $\sigma^2=\frac 1 n $, то их сумма не будет распределена нормально.
Нет достаточных оснований полагать, что такой закон $\sigma^2=\frac 1 n $ обязателен для природы.
Число слагаемых в случайной величине и размер этих слагаемых могут быть какими угодно, и маловероятно что именно такими, чтобы выполнялась ЦПТ.
Значит в природе ЦПТ не применима и нормально распределенных величин в принципе не должно быть.
Поэтому:
знать ЦПТ не надо, изучать не надо, нормальное распределение не нужно, знать его не надо, вся наука (физика, экономика), где нормальное распределение что-то значит, не верна.
Или не так?

[ewert]

Ales в сообщении #420287 писал(а):

Нет достаточных оснований полагать, что такой закон $\sigma^2=\frac 1 n $ обязателен для природы.

Вы же сами, своей собственной волей разделили дисперсию на $n$ -- и после этого удивляетесь, что она вдруг разделилась на $n$.

[Shtirlic]

Ales
Подождите.
Если $X_i$ имеет дисперсию $\sigma^2$, то их сумма их $n$ штук имеет дисперсию $\frac{\sigma^2}{n}$. Что имеет как строгие математическое доказательство, так и поддается банальной бытовой логике (возьмите хоть пример с монеткой, какова дисперсия для одного бросания и какова дисперсия для среднего 1000 бросаний, отклонения в одну-другую сторону сглаживаются в совокупности). Дальше вы нормируете среднее $S_n$, добиваясь дисперсии в 1 ($\frac{S_n}{n\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{S_n}{\sigma\sqrt{n}}$), тем самым вы приходите к стандартному нормальному распределению, нормальное же распределение может иметь любое мат. ожидание и дисперсию. Так что ваш пример с делением на $n$ стандартизация, ничего более, можно спокойно обойтись и без него.
При этом хочу добавить, что существует несколько вариаций ЦТП (может они не все так называются, прошу прощения если ошибся), с разными условиями на $X_i$, при которых их сумма стремиться к нормальному распределению (самый простой случай говорит об их одинаковом распределении).
Так что довольно многие процессы в природе сводятся к нормальному распределению (да и сам вид графика плотности с бытовой точки зрения очевиден, он так же у продажников применяется для товаров одной категории (чьей-то шапкой называется).

[Someone]

Shtirlic в сообщении #420311 писал(а):

Если $X_i$ имеет дисперсию $\sigma^2$, то их сумма их $n$ штук имеет дисперсию $\frac{\sigma^2}{n}$.

Ничего подобного. Вероятно, Вы оговорились. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, поэтому $D\sum\limits_{i=1}^nX_i=\sum\limits_{i=1}^nDX_i=n\sigma^2$.
Вот среднее арифметическое действительно будет иметь дисперсию $\frac{\sigma^2}n$.

[Shtirlic]

Someone в сообщении #420318 писал(а):

Shtirlic в сообщении #420311 писал(а):

Если $X_i$ имеет дисперсию $\sigma^2$, то их сумма их $n$ штук имеет дисперсию $\frac{\sigma^2}{n}$.

Ничего подобного. Вероятно, Вы оговорились. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, поэтому $D\sum\limits_{i=1}^nX_i=\sum\limits_{i=1}^nDX_i=n\sigma^2$.
Вот среднее арифметическое действительно будет иметь дисперсию $\frac{\sigma^2}n$.

Да, спасибо, я действительно оговорился, извиняюсь.

-- Вт мар 08, 2011 00:36:19 --

Shtirlic в сообщении #420311 писал(а):

Так что ваш пример с делением на $n$ стандартизация, ничего более, можно спокойно обойтись и без него.

И здесь оговорился! C делением на $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

-- Вт мар 08, 2011 00:40:57 --

Ales в сообщении #420287 писал(а):

То есть она складывается из $n$ независимых случайных величин $\frac 1 {\sigma \sqrt n} X_k$, каждая из которых имеет отклонение $\frac 1 {\sqrt n} $.

И это не верно (точнее так тоже можно интерпретировать). Но задумывалось все для стандартизации, что я описывал выше.

[Ales]

Shtirlic в сообщении #420311 писал(а):

нормальное же распределение может иметь любое мат. ожидание и дисперсию

Когда дисперсия очень мала, распределение - почти дельта-функция.
Можно ли вообще в таком случае применять термин "нормальное"?
Естествоиспытатель вообще не заметит флуктуации такой величины - это будет константа, неслучайная величина.

-- Пн мар 07, 2011 16:57:54 --

Shtirlic в сообщении #420311 писал(а):

Так что ваш пример с делением на $n$ стандартизация, ничего более, можно спокойно обойтись и без него.

Нет это не стандартизация, это предельный переход. Делим на бесконечность.

-- Пн мар 07, 2011 17:06:01 --

Еще раз повторю свою идею:
ЦПТ работает, когда размер складываемых случайных величин обратно пропорционален квадратному корню из их числа.
Это невероятное совпадение исключает практическое применение ЦПТ и какие-либо надежды на естественное происхождение нормального (гауссова) закона.

-- Пн мар 07, 2011 17:07:29 --

Если же размер величин существенно меньше, то в пределе получаем дельта-функцию.
Если же существенно больше, то ЦПТ не работает.

[Shtirlic]

Ales в сообщении #420325 писал(а):

Shtirlic в сообщении #420311 писал(а):

Так что ваш пример с делением на $n$ стандартизация, ничего более, можно спокойно обойтись и без него.

Нет это не стандартизация, это предельный переход. Делим на бесконечность.

Я уже писал, здесь описка, речь шла про деление на среднее квадратичное.

-- Вт мар 08, 2011 01:40:43 --

Ales в сообщении #420325 писал(а):

Еще раз повторю свою идею:
ЦПТ работает, когда размер складываемых случайных величин обратно пропорционален квадратному корню из их числа.
Это невероятное совпадение исключает практическое применение ЦПТ и какие-либо надежды на естественное происхождение нормального (гауссова) закона.

-- Пн мар 07, 2011 17:07:29 --

Если же размер величин существенно меньше, то в пределе получаем дельта-функцию.
Если же существенно больше, то ЦПТ не работает.

Ничего не понял. Что такое размер случайных величин для начала?
Я могу сказать с уверенностью, что среднее количество очков выпадающих на игральной кости, при количестве бросков стремящихся к бесконечности, стремиться к нормальному распределению и никакой логике это не противоречит, вполне ожидаемо, что где-то так оно и будет выглядеть (понятно, что в среднем будет где-то 3,5 и что близость к 5 более вероятней чем к 10 и т.п.).