предел последовательности, заданной рекуррентным соотношение

[myra_panama]

Последовательность {$P_n$} задается рекуррентными соотношении
$P_1=8R$ и
$P_{n+1}=\frac{2P_n}{1+\sqrt{1+\frac{P^2_n}{2^{2n+4}R^2}}}$
Найти $\lim\limits_{n \to \infty} P_n$

укажите что нибудь.... ммм...

-- Сб мар 05, 2011 19:18:05 --

алооо я еще думаю.... помогите

[Sonic86]

(тут была чушь)

-- Сб мар 05, 2011 23:00:57 --

Есть такой прием дурацкий:
$F(a_{n+k},...,a_n) = 0$, то "взяв" предел от левой части, получим соотношение $F(a,...,a) = 0$, где $a = \text{чему?}$

-- Сб мар 05, 2011 23:02:25 --

К последовательности $P_n$ можно применить один стандартный признак существования предела и выяснить - существует предел или нет.

[svv]

Обозначим $\frac {P_n} {2^{n+2}R} =\frac 1 {Q_n}$, тогда
$Q_1=1$,
$Q_{n+1}=Q_n+\sqrt{Q_n^2+1}$.
Эту последовательность проще изучать, её предел очевиден.

[Sonic86]

svv, я вот тоже сначала подобную замену хотел сделать. А потом подумал. А можно ли из $\lim Q_n$ найти $\lim P_n$? По-моему, нет. Для того, чтобы это можно было сделать, нужно искать не $\lim Q_n$, а асимптотику $Q_n$ (к тому же тут видно, что $\lim Q_n = + \infty$). Правильно?

-- Вс мар 06, 2011 10:29:00 --

Асимптотику несколько сложнее искать, чем предел.

[myra_panama]

я нашел такое указание :
$\tan{\frac{x}2}=\frac{\tan{x}}{\sqrt{\tan^2 x+1}+1}$
( $0\le \tan x \le \frac{\pi}2$)
используя эту соотношению и формулу для стороны правильного описанного 2n -угольника.....

дальше ....можно и найти предел...

(Оффтоп)

ну еще не знаю... как получить ответ..

[Sonic86]

Так и знал, что n-угольник

Вообще-то я Вам написал как решать. Причем метод довольно общий и простой. Не будете же Вы каждый раз искать геометрическую интерпретацию при нахождении пределов сложных рекуррентностей.

Можете и так решить, если нравится...

[svv]

Да, Вы правы... Я после замены о $P_n$ уже вообще не думал (ну, или думал, что там всё автоматически).