Топология (расстояние между замкнутыми множествами на плоско

[Niclax]

Какие замкнутые множества на плоскости, между которыми не существует расстояния, можно привести в качестве примера?

P.S. Под расстоянием между множествами понимается инфимум расстояний по всем точкам этих множеств.

[patzer2097]

Одно из которых пустое. Потому что инфимум непустого множества вещественных чисел всегда существует

[Виктор Викторов]

Плоскость - нормальное топологическое пространство. И следовательно каждые два непесекающиеся непустые множества имеют непересекающиеся открытые окрестности. Соответственно расстояние между такими множествами всегда положительно.

[gris]

Положительно? Кстати, patzer2097, наверное, имел в виду "инфимум непустого множества неотрицательных вещественных чисел всегда существует"?
А насчёт положительности расстояния: две какие-нибудь гиперболы с общей асимптотой. Ну или гипербола и её асимптота — как?

[Виктор Викторов]

Пожалуй, я слегка увлекся. Infimum в Вашем случае действительно ноль. Вот пару соседних фактов. Расстояние от любой точки асимптоты до гиперболы положительно (из-за замкнутости гиперболы). Существуют непересекающиеся открытые окрестности гиперболы и её асимптоты (доказательство у Александряна и Мирзахоняна на странице 207).

[gris]

Так плоскость вроде бы нормальное пространство и четвёртая аксиома отделимости в нём действует. (Вы сказали). Да и представить несложно: запустим ещё пару гипербол в промежноутке, ну между ними.

[Виктор Викторов]

Ну и что? Не понимаю с чем Вы спорите.

[gris]

Разве я спорю? Я повторил Ваши слова для выражения удивления, что после этого факт существования искомых окрестностей надо ещё как-то доказывать. По-видимому, там есть какие-то тонкости?

[Niclax]

Глупый вопрос: а почему инфимум непустого множества неотрицательных чисел всегда существует?

[gris]

Потому, что оно (подмножество) ограничено снизу. Вы, наверное, беспокоитесь, что инфимум может не принадлежать подмножеству. Ну так он и не обязан. Это ж не минимум.

Добавлю, что факт существования этого самого инфинума отражает полноту множества действительных сисел.

[Виктор Викторов]

Во-первых, вопрос умный. Во вторых, потому, что каждое ограниченное снизу множество вещественных чисел имеет точную нижнюю границу (infimum). Почитайте где-нибудь определение вещественных чисел (лучше через сечения).

[Niclax]

gris
Скорее меня беспокоит наличие различных хитросконструированных множеств, не укладывающихся в рамки простой интуиции.

Виктор Викторов
Спасибо.

[gris]

Для непустых множеств на плоскости хитрить не приходится. Расстояние между двумя разными точками положительно. То есть расстояние между двумя любыми множествами на плоскости с любой метрикой, определённое по-Вашему, существует.
Может быть имелось в виду нечто иное? Например, построить два ограниченных замкнутых множества с нулевым расстоянием.

[Niclax]

gris
Я имел ввиду множества на прямой. Мало ли там какой зверь обитает, который не имеет инфимума.

[Виктор Викторов]

Вот именно поэтому и нужно подробно проработать определение вещественных чисел через сечения.