Математический маляр

[Xenia1996]

Маляр Жора принял необычный заказ - раскрасить все положительные вещественные числа так, чтобы любые два числа, отношение которых равно 4 или 8 были покрашены в разные цвета.

Какое наименьшее число цветов Жора сможет использовать?

[venco]

(Оффтоп)

Дык, 3.

[Xenia1996]

venco в сообщении #419359 писал(а):

(Оффтоп)

Дык, 3.

Двух цветов не хватит. Если 1 покрашено в белый, 4 и 8 должны быть чёрными, но тогда 16 и 64 должны быть белыми.

Тремя - можно.

Для каждого положительного вещественного $r$ определим $s_r=4^n$ как наибольшую степень четвёрки с целым (необязательно положительным) показателем, не превышающую $r$ . Если $n$ дарамдаш остаток 0 при делении на 3, красим $r$ в красный, если остаток 1 - в жёлтый, если 2 - в зелёный.

Тогда отношение двух чисел одного цвета будет либо меньше 4, либо больше 16.

Так?

[venco]

Ага.

[Профессор Снэйп]

Можно без целых частей.

На $(0,+\infty)$ введём бинарное отношение

$$ R = \{ \langle x,y \rangle \in (0,+\infty)^2 : (\exists z \in \mathbb{Z})(x = 2^z y) \} $$

Свойства рефлексивности,симметричности и транзитивности очевидны, так что $R$ --- эквивалентность. Для каждого класса эквивалентности $r$ выберем и зафиксируем $x_r \in r$. Тогда $r = \{ 2^z x_r : z \in \mathbb{Z} \}$.

Пусть теперь $\varphi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_3$ --- канонический гомоморфизм абелевых групп. Для каждого класса эквивалентности $r$ выберем также $b_r \in \mathbb{Z}_3$. Теперь для любого $y \in (0, +\infty)$ находим, класс эквивалентности $r$ и $z \in \mathbb{Z}$ со свойством $y = 2^zr_x$, после чего красим $y$ в цвет $\varphi(z) + b_r$.

Легко видеть, что, во-первых, получается раскраска в три цвета с нужным свойством, а, во-вторых, любая раскраска в три цвета с нужным свойством может быть получена таким образом. Отсюда мораль: существует ровно $3^c =$ гиперконтинуум нужных раскрасок

-----------------------------

Задача напомнила другую похожую. Требуется придумать функции $f$ и $g$ из $(0,+\infty)$ в $(0, +\infty)$, такие что $f(g(x)) = x^2$ и $g(f(x)) = x^3$ для всех положительных $x \in \mathbb{R}$. Решается, в-принципе, так же, но тут есть изюминка: можно исхитриться и сделать функции $f$ и $g$ непрерывными

[nnosipov]

Профессор Снэйп в сообщении #419502 писал(а):

Задача напомнила другую похожую. Требуется придумать функции $f$ и $g$ из $(0,+\infty)$ в $(0, +\infty)$, такие что $f(g(x)) = x^2$ и $g(f(x)) = x^3$ для всех положительных $x \in \mathbb{R}$. Решается, в-принципе, так же, но тут есть изюминка: можно исхитриться и сделать функции $f$ и $g$ непрерывными

Кстати, если считать $x \in \mathbb{R}$, то таких функций вообще не существует. Это тоже известная задача ("Покори Воробъёвы горы-2005").