Обратная функция

[Maddoggg]

Тут встретилась задача, никак не могу решить
Найти функцию, обратную данной
$y$=$x$+$[x]$
Пытался $x$ по-разному выражать, но каждый раз получаю тождество!( т.е. $0$=$0$)

[Алексей К.]

По-разному — это как? Тождество такое странное — это откуда?
Я бы попробовал сделать это конкретно на $x\in[0,1)$. Потом на $[1,2)$. Потом на $[2,3)$. Глядишь, какие-нибудь закономерности увидятся, ковыряться до бесконечности не придётся.
График данной функции, конечно, уже давно перед глазами?

[Maddoggg]

Да я рассматривал промежутки и график построил. А можно ли найти обратную к функции если она не обратима? Тут, к примеру, при $x$=1,5 и при $x$=2 одни и те же значения $f(x)$

[ИСН]

Maddoggg в сообщении #419513 писал(а):

А можно ли найти обратную к функции если она не обратима?

Вы добрались до самой сути вопроса.

-- Пт, 2011-03-04, 11:31 --

Минуточку, как это одни и те же?

[Maddoggg]

Ой,$[x]$- это же целая часть. Черт:)
Тогда пока не помогайте...

[Sasha2]

У этой задачи, как мне кажется есть простое и красивое решение.

[Maddoggg]

Я разобрался, спасибо.
Только решение не совсем красивое чтоли... Я просто нашел значения функции с первого уравнения, поменял местами $x$ и $y$, затем просто подбирал формулу. Это нормально?

[Sasha2]

А можно и проще.
Если мы возьмем целую часть от обеих частей, то легко получим, что [y]=2[x]
Дальше уже тривиально.

Прошу прощения, но тег math, как то кривовато стал работать.

[Maddoggg]

Sasha2 Извините, я вас не понял

[Sasha2]

А что непонятного?
Итах, исходная функция $y=x+[x]$
Следовательно, $[y]=[x+[x]]=[[x]+(x)+[x]]=[2[x]+(x)]=[2[x]]=2[x]$.
Осталось в исходную функцию вместо $[x]$ поставить $\frac{[y]}{2}$ и выразить $x$.

Здесь через $(x)$ обозначена дробная часть (почему то фигурные скобки не отображаются).

[Maddoggg]

Да, это я получил, но для $x\ll0$. Для $x<0$ у меня другое выражение.
Кажется, для отрицательных $x$ получившаяся функция не будет обратной.

[Sasha2]

Нет, она будет точно такой же во всей области своего определения, если, конечно, под целой частью числа, как обычно понимать наибольшее целое число, не превосходящее данное.

[AKM]

Sasha2 в сообщении #419635 писал(а):

Здесь через $(x)$ обозначена дробная часть (почему то фигурные скобки не отображаются).

Фигурные скобки — спецсимвол в Техе. Надо писать $ \{x\} $: получится $ \{x\} $.Так же, если Вам вдруг понадобятся сами доллары, _, ^, $\text{\&}$...

Ещё одна фулечка: $\left\{\dfrac{y}{2}\right\}$. Познавайте.