Оценка порядка аппроксимации разностной схемы

[e_vslv]

Здравствуйте!
Столкнулась со следующей задачей, не могу понять, с какой стороны подойти...
С каким порядком дифференциальная задача $y' + 2y \cos x = \cos x + \sin (2x) $аппроксимируется разностной схемой:
$\frac{u_{i+1} - u_i}{h} + \cos x_i (u_i + u_{i+1}) = \cos x_{i+1} + \sin (2x_{i+1})$
По определению, по идее, мы должны найти такое $k$, чтобы $||\psi^h|| = O(h^k)$, но я вообще не вижу, что тут надо сделать, чтобы получить подобную оценку... Вроде бы и книги перерыла, /*скорей всего, конечно, плохо искала*/ но ничего путного не нашла...

-- Чт мар 03, 2011 11:38:08 --

upd. вроде более-менее разобралась, но подозреваю, что все же неправильно.
может, кто-то скажет, верный ли подход...
делаю следующее $\psi^h = L_h y^h = - \frac {y_{i+1} - y_i}{h} - (y_i + y_{i+1}) \cos(x_i) + \cos x_{i + 1} + \sin (2x_{i+1})$
далее раскладываем $y_{i+1} = y_{i} + y_{i}'h + O(h^2)$, $y_i' = -2y_{i}\cos x_i + \cos x_{i} + \sin(2x_i)$, подставляем в $\psi$:
$\psi^h =- \frac {y_i'h+ O(h^2)}{h} - 2y_i \cos(x_i) + \cos x_{i + 1} + \sin (2x_{i+1}) = \cos x_{i + 1} + \sin (2x_{i+1}) - \cos x_i - \sin (2x_i) + O(h) = O(h)$,
ну как-то так, часть выкладок пропустила, там раскладываю в ряд Тейлора, за счет этого сокращаются синусы и косинусы. Но такое решение мне кажется подозрительным и очень уж простым...

[ewert]

e_vslv в сообщении #419200 писал(а):

С каким порядком дифференциальная задача $y' + 2y cos x = cos x + sin (2x) $аппроксимируется разностной схемой:
$\frac{u_{i+1} - u_i}{h} + cos x_i (u_i + u_{i+1}) = cos x_{i+1} + sin (2x_{i+1})$

С первым -- из-за асимметричности аппроксимации синусов и косинусов:

$$y(x_{i+1})=y(x_{i})+h\big(-2\dfrac{y(x_i)+y(x_{i+1})}{2}\cos(x_i)+\cos(x_{i+1})+\sin(2x_{i+1})\big)+O(h^2)\,,$$

и не более того. Чтобы получить локальную погрешность $O(h^3)$ (и, соответственно, глобальную $O(h^2)$), следовало бы взять, например,

$$y(x_{i+1})=y(x_{i})+h\left(-2\dfrac{y(x_i)+y(x_{i+1})}{2}\cdot\dfrac{\cos(x_i)+\cos(x_{i+1})}{2}+\dfrac{\cos(x_{i})+\sin(2x_{i})+\cos(x_{i+1})+\sin(2x_{i+1})}{2}\right)+O(h^3)\,,$$

а Ваша правая часть отличается от этой на $O(h^2)$.