Составление уравнения колебаний

[ewert]

VPro в сообщении #418497 писал(а):

Извините, но Вы затеваете совершенно неуместный здесь разговор.

Ежу понятно, что неуместны тут диссипации именно пружин, т.к. в подобных абстрактных задачах если и имеет смысл говорить о каких-то диссипативных силах, то -- только по отношению к грузам. Как минимум потому, что грузы -- много площе.

[myhand]

VPro в сообщении #417979 писал(а):

1) Сила сопритивления тоже зависит от относительных скоростей;

С чего вдруг?

[VPro]

myhand в сообщении #418515 писал(а):

VPro в сообщении #417979 писал(а):

1) Сила сопритивления тоже зависит от относительных скоростей;

С чего вдруг?

Не хочется влезать в этот спор, но что делать...

Итак, в задаче малых линейных колебаний упругосвязанных масс в качестве исходных обычно принимают следующие стандартные положения:
1. Пружины безинерционны.
2. Силой сопротивления воздуха принебрегаем.
Поверьте, у топикастера все обстоит именно так.
(Примечание: Можно обсудить, что бывает, когда это не так. Но не здесь и не сейчас. )

А диссипация все-таки, какая-никакая, да есть. Не могут даже в безвоздушном пространстве грузы на пружинках колебаться вечно, без уменьшения амплитуды. Внутреннее трение даже при упругих деформациях присутствует. Примем это как экспериментальный факт.

Возьмем самую простую ситуацию: две массы, связанные невесомой пружиной. Больше никаких связей нет. Пусть они колеблются где-нибудь в совершенно далеком и совершенно свободном космосе.
Выпишем уравнения колебаний:
$m_1x''_1=-c(x_1-x_2)-R; $
$m_2x''_2= c(x_1-x_2)+R; $
Здесь $R$ --- сила диссипации. Пусть она очень мала. Мы простые инженеры и хотим выбрать ее вид максимально простым и линейным. Пока список ее аргументов и вид не задан.
Я лично предложил бы следующий закон:$ R=k(x'_1-x'_2)$.
Но положим я неправ. Давайте подумаем вместе. Господа оппоненты, прошу вас предложите простейший вид для этой функции, не противоречащий здравому смыслу.

[ewert]

VPro в сообщении #418534 писал(а):

Силой сопротивления воздуха принебрегаем. Поверьте, у топикастера все обстоит именно так.

Ни за что не поверю. Во-первых, потери на воздушное трение грузов заведомо (в естественных ситуациях) много больше, чем потери внутри пружинок. Если эти потери вообще есть. Во-вторых (и это главное), у топикстартера совсем другие проблемы -- он просто патологически не может осознать, какая сила к чему прикладывается. Вы же зачем-то добавляете к этим патологиям ещё и свои; а зачем -- я не в курсе.

[VPro]

ewert в сообщении #418548 писал(а):

... Во-первых, потери на воздушное трение грузов заведомо (в естественных ситуациях) много больше, чем потери внутри пружинок. Если эти потери вообще есть.

Совершенно голословное утверждение. А еще нужно вспомнить, что зависимость сопротивления воздуха от скорости --- квадратична, и при линеаризации таки будет отброшена. А зависимость внутреннего трения в металлах в первом приближении линейно зависит от скорости деформации. О чем я собственно и говорю.
А о патологиях --- это на каком нибудь медицинском форуме. Здесь ни к чему.

[myhand]

VPro в сообщении #418561 писал(а):

А зависимость внутреннего трения в металлах в первом приближении линейно зависит от скорости деформации.

Да, вполне разумно.

Хотя автору топика я советовал бы с такими вещами не заморачиваться. Ежели надо диссипацию устроить - лучше считать, что грузики находятся в глицерине каком-нибудь.

[yerzhik]

VPro в сообщении #418427 писал(а):

1. Начну с Вашего вопроса:

Цитата:

Но почему мы берем именно скорость удлинения пружин, а не просто
$x'_1$ и $x'_2$ ? Прошу, объясните..

Потому, что рассеяние энергии в пружине конечно же зависит от скорости ее деформации, т.е. от $x'_1-x'_2$. Представьте себе, что $x'_1=x'_2$. Тогда длина пружины не изменяется, а значит и никакой диссипации нет.
Вот если диссипация связана с трением об воздух, тогда конечно, сила трения будет пропорциональна именно $x'_1$ и $x'_2$.

2. Ваши уравнения:

Цитата:

$M_1 x_1''(t) = -k_1 \hat{x}_1(t) - \alpha_1 (x_1'(t) - x_2'(t))$
$M_2 x_2''(t) = -k_2 \hat{x}_2(t) + k_1 \hat{x}_1(t) - \alpha_2 x_2'(t)$

записаны правильно. Давайте теперь внесем все обозначения. Мы получим
$M_1 x''_1(t) = -k_1(x_1-x_2) - \alpha_1 (x'_1 - x'_2) +k_1L_1;$
$M_2 x''_2(t) = -k_2 x_2 + k_1(x_1-x_2) - \alpha_2 x'_2+\alpha_1(x'_1 - x'_2) +k_2L_2-k_1L_1.$
Это линейные дифференциальные уравнения, на вход которым подаются постоянные возмущения.
Эти уравнения описывают колебания рассматриваемой системы при любых начальных условиях. При этом $x_1(t)$ есть затухающие колебания вокруг положения равновесия $x_1=L_1+L_2$, а $x_2(t)$ --- затухающие колебания вокруг $x_2=L_2$.
В приличном обществе принято, чтобы положение равновесия линейной системы было при $x_1=0$, $x_2=0$. Это легко сделать введя новые переменные $\tilde{x_1}=x_1-(L_1+L_2)$, $\tilde{x_2}=x_2-L_2$.
В дальнейшем мы знак тильды опустим и будем рассматривать систему:
$M_1 x''_1(t) = -k_1(x_1-x_2) - \alpha_1 (x'_1 - x'_2);$
$M_2 x''_2(t) = -k_2 x_2 + k_1(x_1-x_2) - \alpha_2 x'_2+\alpha_1(x'_1 - x'_2).$

Это и есть та система, которую Вы стремитесь вывести. Пока все понятно?

Спасибо большое, один непонятный момент
после внесения всех обозначений, во второй формуле, не лишним ли является слагаемое
$\alpha_1(x'_1 - x'_2) $?

[VPro]

yerzhik в сообщении #418615 писал(а):

Спасибо большое, один непонятный момент
после внесения всех обозначений, во второй формуле, не лишним ли является слагаемое
$\alpha_1(x'_1 - x'_2) $?

Дело в том, что полная запись силы, c которой первая пружина действует на массу $M_1$ равна $-k_1(x_1-x_2)-\alpha_1(x'_1 - x'_2)$. Из соображений симметрии, а также (что может более понятно) из третьего закона Ньютона, следует, что на второе тело она должно действовать с противоположной силой. Еще проще: источником дисипации является пружина, как мы договорились. Тело $M_1$ связано с одной пружиной и сила дисипации одна. А тело $M_2$ --- с двумя пружинами. Значит....?

[yerzhik]

VPro в сообщении #418620 писал(а):

yerzhik в сообщении #418615 писал(а):

Спасибо большое, один непонятный момент
после внесения всех обозначений, во второй формуле, не лишним ли является слагаемое
$\alpha_1(x'_1 - x'_2) $?

Дело в том, что полная запись силы, c которой первая пружина действует на массу $M_1$ равна $-k_1(x_1-x_2)-\alpha_1(x'_1 - x'_2)$. Из соображений симметрии, а также (что может более понятно) из третьего закона Ньютона, следует, что на второе тело она должно действовать с противоположной силой. Еще проще: источником дисипации является пружина, как мы договорились. Тело $M_1$ связано с одной пружиной и сила дисипации одна. А тело $M_2$ --- с двумя пружинами. Значит....?

Очевидно, для второй массы, силы диссипации две, от первой пружины, и от второй. С противоположенным знаком взято. Согласен. Спасибо,
даже не подумал об этом.

[VPro]

Теперь осталось совсем немного.
1. Выведенные линейные уравнения полностью описывают поведение рассматриваемой системы, положение равновесия которой приведено в нулевую точку. Вы смело можете исследовать ее находя собственные частоты, формы колебаний, устойчивость, структурную устойчивость, строить фазовые портреты и т.д. Здесь учет силы тяжести и размеров пружин ни к чему.
2. Поскольку введение силы тяжести даст две константы в правой части, то мы всегда можем убрать их соответствующим преобразованием (сдвигом) координат. Т.е. при учете силы тяжести изменятся только положения равновесия. Вы можете легко рассчитать на какие значения они изменятся. Эти значения соответствуют статическим деформациям пружин в исходном невозмущенном состоянии.
3. При желании иметь расчет реальных координат грузов, добавьте в правую часть отброшенные постоянные, связанные с длиной пружин, и силы тяжести с обратным знаком. Учтите изменение положения равновесия.
4. Если на систему действуют внешние нагрузки (удары, вибрации ...) Вы просто опять же добавляете их в правую часть.

Думаю, все.

[yerzhik]

VPro в сообщении #418634 писал(а):

Теперь осталось совсем немного.
1. Выведенные линейные уравнения полностью описывают поведение рассматриваемой системы, положение равновесия которой приведено в нулевую точку. Вы смело можете исследовать ее находя собственные частоты, формы колебаний, устойчивость, структурную устойчивость, строить фазовые портреты и т.д. Здесь учет силы тяжести и размеров пружин ни к чему.
2. Поскольку введение силы тяжести даст две константы в правой части, то мы всегда можем убрать их соответствующим преобразованием (сдвигом) координат. Т.е. при учете силы тяжести изменятся только положения равновесия. Вы можете легко рассчитать на какие значения они изменятся. Эти значения соответствуют статическим деформациям пружин в исходном невозмущенном состоянии.
3. При желании иметь расчет реальных координат грузов, добавьте в правую часть отброшенные постоянные, связанные с длиной пружин, и силы тяжести с обратным знаком. Учтите изменение положения равновесия.
4. Если на систему действуют внешние нагрузки (удары, вибрации ...) Вы просто опять же добавляете их в правую часть.

Думаю, все.

Правильно ли я понимаю, что для исходной системы (пружины соединенные вертикально) уравнения колебаний будут такими же, за исключением того, что
в каждое уравнение добавится слагаемое, выражающее силу тяжести?

[VPro]

yerzhik в сообщении #418656 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что для исходной системы (пружины соединенные вертикально) уравнения колебаний будут такими же, за исключением того, что в каждое уравнение добавится слагаемое, выражающее силу тяжести?

Да, правильно. Но еще правильнее --- понимать, что добавление постоянных слагаемых ничего не изменит в поведении системы, за исключением сдвига положений равновесия.

[yerzhik]

VPro в сообщении #418680 писал(а):

yerzhik в сообщении #418656 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что для исходной системы (пружины соединенные вертикально) уравнения колебаний будут такими же, за исключением того, что в каждое уравнение добавится слагаемое, выражающее силу тяжести?

Да, правильно. Но еще правильнее --- понимать, что добавление постоянных слагаемых ничего не изменит в поведении системы, за исключением сдвига положений равновесия.

Спасибо большое за ответ,
вы мне очень помогли!
Правда пока что еще вопросы остались у меня.
Вот таким должно быть уравнение системы описанной в самом начале

$M_1 x''_1(t) = -k_1(x_1-x_2) - \alpha_1 (x'_1 - x'_2) +k_1L_1 - M_1 g$
$M_2 x''_2(t) = -k_2 x_2 + k_1(x_1-x_2) - \alpha_2 x'_2+\alpha_1(x'_1 - x'_2) +k_2L_2-k_1L_1 - M_2 g$

Система будет колебаться при этом, пока не остановится.
Состояние покоя, это когда скорости у нас нету. По идее это когда $Mg = kx$
Я вот хочу проверить это условие. Получается, в определенный момент времени система успокоится, и x(t) = const.

Учитывая это, уравнения приобретут вид
$0 = -k_1(x_1-x_2) + k_1L_1 - M_1 g$
$0 = -k_2 x_2 + k_1(x_1-x_2) + k_2L_2-k_1L_1 - M_2 g$

Сокращая дальше, получаем.
$0 = M_1 g$
$0 = M_2 g$

А это уже не верно..
Где я ошибся..

И еще вопрос, как будет замена выглядеть? Чтобы избавиться от Mg?

[VPro]

yerzhik в сообщении #418914 писал(а):

Вот таким должно быть уравнение системы описанной в самом начале
$M_1 x''_1(t) = -k_1(x_1-x_2) - \alpha_1 (x'_1 - x'_2) +k_1L_1 - M_1 g$
$M_2 x''_2(t) = -k_2 x_2 + k_1(x_1-x_2) - \alpha_2 x'_2+\alpha_1(x'_1 - x'_2) +k_2L_2-k_1L_1 - M_2 g$

Да, это Ваша система, так сказать, в натуральном виде, не приведенная к нулевому положению равновесия. С ней вполне можно работать.

yerzhik в сообщении #418914 писал(а):

Состояние покоя, это когда скорости у нас нету. По идее это когда $Mg = kx$
Я вот хочу проверить это условие. Получается, в определенный момент времени система успокоится, и x(t) = const.
Учитывая это, уравнения приобретут вид
$0 = -k_1(x_1-x_2) + k_1L_1 - M_1 g$
$0 = -k_2 x_2 + k_1(x_1-x_2) + k_2L_2-k_1L_1 - M_2 g$

Пока все верно. Получена система линейных уравнений относительно переменных$ x_1$ и $x_2$. Решая ее, Вы и получаете положения равновесия.

yerzhik в сообщении #418914 писал(а):

Сокращая дальше, получаем.
$0 = M_1 g$
$0 = M_2 g$
А это уже не верно..
Где я ошибся..

Ошибка очевидно в "сокращении". У меня, например, здесь ничего не сокращается, а получается система линейных уравнений. И ее решить можно.

yerzhik в сообщении #418914 писал(а):

И еще вопрос, как будет замена выглядеть? Чтобы избавиться от Mg?

Решая систему лин. уравнений Вы получите 2 положения равновесия. Пусть это $ x_1=a$ и $x_2=b$. А потом делаете замену $x_1=x_1-a$ и $x_2=x_2-b$. И все.

[yerzhik]

VPro в сообщении #418928 писал(а):

yerzhik в сообщении #418914 писал(а):

Вот таким должно быть уравнение системы описанной в самом начале
$M_1 x''_1(t) = -k_1(x_1-x_2) - \alpha_1 (x'_1 - x'_2) +k_1L_1 - M_1 g$
$M_2 x''_2(t) = -k_2 x_2 + k_1(x_1-x_2) - \alpha_2 x'_2+\alpha_1(x'_1 - x'_2) +k_2L_2-k_1L_1 - M_2 g$

Да, это Ваша система, так сказать, в натуральном виде, не приведенная к нулевому положению равновесия. С ней вполне можно работать.

yerzhik в сообщении #418914 писал(а):

Состояние покоя, это когда скорости у нас нету. По идее это когда $Mg = kx$
Я вот хочу проверить это условие. Получается, в определенный момент времени система успокоится, и x(t) = const.
Учитывая это, уравнения приобретут вид
$0 = -k_1(x_1-x_2) + k_1L_1 - M_1 g$
$0 = -k_2 x_2 + k_1(x_1-x_2) + k_2L_2-k_1L_1 - M_2 g$

Пока все верно. Получена система линейных уравнений относительно переменных$ x_1$ и $x_2$. Решая ее, Вы и получаете положения равновесия.

yerzhik в сообщении #418914 писал(а):

Сокращая дальше, получаем.
$0 = M_1 g$
$0 = M_2 g$
А это уже не верно..
Где я ошибся..

Ошибка очевидно в "сокращении". У меня, например, здесь ничего не сокращается, а получается система линейных уравнений. И ее решить можно.

yerzhik в сообщении #418914 писал(а):

И еще вопрос, как будет замена выглядеть? Чтобы избавиться от Mg?

Решая систему лин. уравнений Вы получите 2 положения равновесия. Пусть это $ x_1=a$ и $x_2=b$. А потом делаете замену $x_1=x_1-a$ и $x_2=x_2-b$. И все.

Большое вам спасибо, VPro,
Вы мне очень помогли! Теперь я больше стал понимать, могу составлять и другие уравнения, вроде как получается!
Спасибо!!!