Binomial.....

[man111]

(1) Find all positive Integer values of $n$ and $r$ that satisfy $\displaystyle\binom{n}{r}=2010$

(2) Find all positive Integer values of $n$ and $r$ that satisfy $\displaystyle\binom{n}{r}=2011$

(3) Find all positive Integer values of $n$ and $r$ that satisfy $\displaystyle\binom{n}{r}=2012$

[ewert]

$C_{2010}^1,\ C_{2011}^1,\ C_{2012}^1,\ C_{2010}^{2009},\ C_{2011}^{2010},\ C_{2012}^{2011}.$

[man111]

Plz explanation..
Why there is no other solution exists.

[ewert]

Потому, что $2010=2*3*5*67,\ 2011=2011,\ 2012=2*2*503$. И уже даже $67$ -- слишком много даже для $C_{67}^2$, не говоря уж обо всём остальном.

(Оффтоп)

(блин, пардон за звёздочки. Это машинально вышло -- потому, что для верности перепроверял разложение на простые Паскалем (это наикорочее). А исправлять -- лень, проще эти фразы накидать.)

[man111]

Doubt..
(1) How can I say That Max. value of $n=67$ and $r=2$

(2) How Can i prove that $2011$ is a Prime factor.

Thanks.

[ewert]

man111 в сообщении #418931 писал(а):

(1) How can I say That Max. value of $n=67$ and $r=2$

$2010=2\cdot3\cdot5\cdot67=C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\ \Rightarrow\ n\geqslant67,$ но $C_{67}^2=\frac{67\cdot66}{2}=2211$ уже больше $2010$, а всё остальное тем более.

man111 в сообщении #418931 писал(а):

(2) How Can i prove that $2011$ is a Prime factor.

Никак. Оно просто простое -- и всё тут.