Получение значения факториалов методом итерации...

[Derinaiborory]

Провел забавный эксперимент, последовательно вычислял разницу между квадратами натуральных чисел, 1-0=1; 4-1=3; 9-4=5 получался забавный ряд с шагом в 2. решил проэксперементировать дальше, вычитал кубы 1-0=1, 8-1=7, 27-8= 19, 64-27=37... получилась ерундистика, но попробовал еще раз вычислить разность из уже полученных сумм: 7-1=6, 19-7=12, 37-19=18 и получился ряд с шагом 6. попробовав далее выяснилось что и в 4 степени после третьего вычитания получается шаг 24 и тд, то есть значение факториала номинала степени. Кто-то уже находил такую зависимость? а что если если складывать соседние числа созведенные в отрицательные степени? получим значение факториалов отрицательных чисел?

[Sonic86]

Это стандартный факт: $\Delta _k (n^k) = k!$
Более того! Если $P_k(n)$ - многочлен $k$-й степени, то $\Delta _k (P_k(n)) = k!$ тоже.
Если нужно доказательство - по индукции. А вообще - учить матан, алгебру и т.п.
З.Ы. Здесь $\Delta _k(f(n))$ - разность $k$-го порядка для $f(n)$. Ну т.е. $\Delta _1(f(n)) = \Delta (f(n)) = f(n+1)-f(n)$, а $\Delta _{k+1}(f(n)) = \Delta _k (f(n+1))- \Delta _k (f(n))$

Ну и для полноты картинки заметим, что разность можно заменить на производную.
А считать факториалы так не надо - проще по определению.

[Derinaiborory]

Sonic86
забавно, ценная информация. Так чсто насчет факториалов отрицательных чисел? И да, матана у меня никогда не было я гуманитарий, все постигаю сам и, например, здесь...

[gris]

Функция факториала расширяется даже на комплексные числа с помощью гамма-функции.

[Portnov]

Только гамма-функция на целых отрицательных числах в бесконечность уходит.

[gris]

Ну да, там полюса. Зато в остальных точках всё нормально.
Это я к тому, что если каким-то образом вводить факториалы отрицательных чисел, то надо будет увязывать их с гамма-функцией. Иначе взять да и определить их как произведение целых от -1 до факторизуемого числа. Или ещё как. Только зачем?
Или есть какой-то смысл?

[Derinaiborory]

Ну вопрос несколько в другом состоит, зная что можно получить значения факториалов положительных натуральных чисел, то логично было бы предположить что некая подобная зависимость есть и у отрицательных чисел, но эмпирически выявить не удается, ни складывание ни вычитание ни другие методы не дают результата. То есть подобная итерация подходит только для положительных чисел?

[ИСН]

какая зависимость. зависимость чего от чего.

[Derinaiborory]

ИСН
в данном случае я имел ввиду свойство знаачений натуральных чисел возведенных в степень, которое заключается что при последовательном вычитании этих чисел, а затем результатов разностей рано или поздно ряд чисел превращается в арифметическую прогрессию с шагом равным значению факториала той степени, в которую изначально возводились числа. Путано наверное объясняю но надеюсь понятно. Так такое свойство распространяется на все положительные натуральные значения степеней, однако с отрицательными степенями такое не прокатывает, но может есть что-то подобное?

[ИСН]

Ах, это. Тогда пожалуйста: нету. Это всё потому что производная...

[Someone]

Для факториалов выполняется соотношение $(n+1)!=n!\cdot(n+1)$. Если его обратить, то получится $n!=\frac{(n+1)!}{n+1}$.
Отсюда получим $0!=\frac{1!}1=1$, но дальше дело не пойдёт: $(-1)!=\frac{0!}0=\frac 10$ не определено.
Гамма-функция, о которой здесь упоминали, связана с факториалами равенством $n!=\Gamma(n+1)$. Для любого комплексного $z$ выполняется равенство $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$, или $\Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+1)}z$, и отсюда следует, что при целых $n\leqslant 0$ гамма-функция не определена.

[Joker_vD]

Помнится, мне говорили, что разумно обобщить факториалы для целых отрицательных чисел невозможно...

[RIP]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #416508 писал(а):

Если $P_k(n)$ - многочлен $k$-й степени, то $\Delta _k (P_k(n)) = k!$ тоже.

Только если старший коэффициент мн-на равен 1.

[Sonic86]

(Оффтоп)

RIP писал(а):

Только если старший коэффициент мн-на равен 1.

Да, наврал