Разрывная функция

[RIP]

Существует ли функция $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, непрерывная в каждой рациональной точке и разрывная в каждой иррациональной?

[Руст]

Можно взять периодическую с периодом 1 функцию, которую в интервале [0,1] можно определить так $f(x)=\sum_{r=a/b<x}\frac{1}{b^3}.$

[RIP]

Она будет разрывной в каждой рациональной и непрерывной в каждой иррациональной, а надо наоборот

[bot]

Что-то похожее приходилось строить на экзамене, чтобы реабилитироваться за провал в доказательстве теоремы, которую не успел разобрать.
Давно это было, но кажется так - надо было построить непрерывную справа (или слева, а это без разницы) функцию, разрывы которой всюду плотны в R.
Кажется это тот самый пример и есть. Ряд там был - это точно.

[Руст]

Можно строить через непрерывные дроби. Если частные от непрерывной дроби для х $q_1,q_2,...$, то можно взять $f(x)=0,q_1q_2...$, где частичные непрерывной дроби пишутся подряд. Для рациональных непрерывная дробь конечна и поэтому функция разрывна.

[RIP]

В рациональных точках функция должна быть непрерывна

[Someone]

http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=337

[RIP]

Виноват.

[maxal]

В этой книжке такого добра навалом.

[AlexDem]

Вот тут нашел функцию Дирихле:
,

которая не является непрерывной в любой точке $x_0$. "Визуально" она глаже, чем функция Римана:
$f(x)=0$, х - иррациональное число
$f(x)=1/n$, х - рациональное число,

приведенная в доказательстве Someone, тем не менее функция Римана непрерывна в иррациональных точках, а функция Дирихле - нет.

Для меня остается неясным, откуда следует, что функция Римана вообще имеет точки непрерывности? Вроде как не является очевидным существование в окрестности любой иррациональной точки интервала $(a,b)\subseteq\mathbb{R}$, такого что для любых $x,y\in(a,b)$ выполняется неравенство $|f(x)-f(y)|<1/n$. Почему бы в таком интервале всегда не встретиться точке $1/m > 1/n$?

[Trueman]

вообще, насколько мне известно, такую функцию построить нельзя, вот наоборот непрерывную в иррациональных и разрывную в рациональных можно.

Добавлено спустя 1 минуту 57 секунд:

кстати в книге, которую рекомендовал maxal, помоему было доказательство этого факта.

[Someone]

AlexDem писал(а):

Почему бы в таком интервале всегда не встретиться точке $1/m > 1/n$?

Потому что таких точек в любом конечном интервале только конечное число.

[AlexDem]

Спасибо!

А maxal столько книг рекомендует, что прочесть все их сразу не представляется возможным

[bot]

bot писал(а):

Что-то похожее приходилось строить...
надо было построить непрерывную справа (или слева, а это без разницы) функцию, разрывы которой всюду плотны в R.

Хоп, сбился на уровне чёт-нечёт - это был явно протиположный пример, правда с дополнительным условием.