интегральные суммы

[tavrik]

дано: функция интегрируема на отрезке [a,b]
для любого разбиения отрезка нижняя сумма равна нулю.
доказать/опровергнуть: существует такое разбиение отрезка P для которого верхняя сумма равна нулю.

Я думаю, что утверждение верное.
По моему, это вытекает из определения интегрируемости функции на отрезке(существование такого разбиения следует из интегрируемост;иначе, если такого разбиения нет, то и интегрируемости не будет).

Прав ли я? Если да, то правильно ли доказательство и есть ли способ другой - от противного или более наглядный что ли($epsilon$, $delta$).

[ИСН]

не следует. они только в пределе обязаны туда бежать, а так-то - - -

[ewert]

tavrik в сообщении #416542 писал(а):

для любого разбиения отрезка нижняя сумма равна нулю.доказать/опровергнуть: существует такое разбиение отрезка P для которого верхняя сумма равна нулю.

Очевидный контрпример -- функция Римана.

[MaximVD]

tavrik
у Вас в условии функция интегрируема по Риману или по Лебегу? Если по Риману, то как пример, функция Римана не подойдёт - она не интегрируема. Если по Лебегу, то подойдёт.

Из определения интегрируемости следует лишь, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такое разбиение, что верхняя сумма больше или равна нуля и меньше $\varepsilon$. Поэтому доказывать нужно как-то по-другому (или придумывать пример).

-- Чт фев 24, 2011 14:23:08 --

Может для интегрируемости по Риману подойдёт такой пример: функция равна 1 в точке $a$ и нулю во всех остальных точках. Какое бы Вы разбиение не взяли, точка $a$ попадёт в самый первый интервал разбиения и верхняя сумма будет не ноль, зато, с другой стороны, нижняя сумма, очевидно, всегда 0.

[ewert]

MaximVD в сообщении #416569 писал(а):

Если по Риману, то как пример, функция Римана не подойдёт - она не интегрируема.

Интегрируема. Вы, вероятно, спутали её с функцией Дирихле.

[tavrik]

мне ваш пример кажется подходящим для опровержения.
действительно, при любом разбиении эта точка попадет...

но выполняется ли тогда условие интегрируемости?
видимо, да. функция ограничена и непрерывна на отрезке за исключением конечного кол-ва точек.

[ewert]

Есть критерий интегрируемости по Риману: функция интегрируема тогда и только тогда, когда она ограничена и множество её точек разрыва имеет меру ноль.

[MaximVD]

Да, простите, перепутал.