Суммирование расходящихся рядов

[Instaider]

По Абелю сумма ряда $1-1+2-2+3-3+4-4+...$ дает$0$, но ведь частичные суммы к нулю не стремятся, и даже вокруг него не скачут!
Так какова же сумма?

Instaider заблокирован за флуд и троллинг. / GAA, 23.02.2011

[ИСН]

В обычном смысле нету, а так - какая угодно. "Любой каприз за Ваши деньги."

[caxap]

Методы суммирования расходящихся рядов (Абеля--Пуассона, Чезаро...) есть в Фихтенгольце.

И так как ваш ряд не сходится абсолютно, то надо явно указывать порядок суммирования.

[Instaider]

Цитата:

И так как ваш ряд не сходится абсолютно, то надо явно указывать порядок суммирования.

по очереди- сойдет?

[caxap]

Сойдёт. Тогда ряд расходится (в обычном смысле). И вы сами уже объяснили -- почему.

[Instaider]

Цитата:

Сойдёт. Тогда ряд расходится (в обычном смысле). И вы сами уже объяснили -- почему.

да елы-палы Ежу понятно что он расходящийся!!! А какова его сумма по Абелю будет?-надеюсь понятно?

[ИСН]

Ваш собственный ответ (0) чем Вас не устраивает?
(Отложим пока вопрос о том, что там на самом деле.)

[caxap]

Instaider в сообщении #415922 писал(а):

А какова его сумма по Абелю будет?

$1/2$

[Instaider]

Цитата:

Ваш собственный ответ (0) чем Вас не устраивает?
(Отложим пока вопрос о том, что там на самом деле.)

ну частичные суммы расходятся, ясно, что Чезаро не работаает- но ведь чтобы сумма расходящегося ряда была равна нулю, обычно частичные суммы скакали через плюс-минус бесконечность- а здесь нет
Странно это...-не находите?

-- Вт фев 22, 2011 23:29:18 --

Цитата:

$1/2$

почему?- там ноль выходит...
покажите расчеты пожалуйста

[ИСН]

Я сказал: отложим вопрос. Неважно пока, что там.
Ваши рассуждения про "обычно", Instaider... Допустим, один мужик выявил примету, что если первые два члена разного знака, то ряд сходится. Ну, обычно так у него получалось. Берёт ряд $1-{1\over2}+{1\over4}-{1\over8}...$ - тот сходится; берёт $1-{1\over2}+{1\over3}-{1\over4}...$ - тот тоже. Как по-Вашему, хорошая, годная это примета? Нет? Почему?

[caxap]

Instaider в сообщении #415928 писал(а):

почему?-

Извините, поспешил.

[Padawan]

$$1-x+2x^2-2x^3+3x^4-3x^5+\ldots=(1-x)\cdot(1+2x^2+3x^4+\ldots)=(1-x)\frac{1}{(1-x^2)^2}=\frac{1}{(1+x)^2(1-x)}\to+\infty$$

при $x\to1-0$.

-- Ср фев 23, 2011 04:03:13 --

Да и по методу средних арифметических тоже бесконечность.

[Gortaur]

Насколько я помню, некоторые методы хитры и все забывают проверить сходимость общего члена к нулю перед применением метода. В любом случае данную сходимость стоит проверять, потому что она необходима для сходимости ряда.

[caxap]

Gortaur
Это не обязательно. Например, у ряда $\sum_{k\ge 0} (-1)^k$ общий член вообще ни к чему не стремится, а тем не менее, по Абелю--Пуассону сходится:

$$\lim\limits_{x\to 1-0}\sum_{k\ge 0} (-1)^k x^k=\lim\limits_{x\to 1-0} \dfrac 1{1+x}=\dfrac 12\,.$$

-- 23 фев 2011, 13:03 --

Padawan
Спасибо, а я так и не сообразил $(1-x)$ за скобки вынести...