Касание гладких кривых на плоскости и гладкие функции на них

[Niclax]

На плоскости имеются 2 непересекающиеся бесконечно гладкие кривые, касающиеся в точке, причем касание между ними порядка $k$. На кривых заданы бесконечно гладкие функции $f$ и $g$(каждая на своей кривой). Вопрос: Каким образом можно определить бесконечно гладкую функцию на всей плоскости, совпадающую с $f$ и $g$ на соответствующих кривых?

[PAV]

Если для каждой точки плоскости взять расстояния до соответствующих кривых, нормировать (чтобы сумма была равна 1) и взять линейную комбинацию значений в ближайших точках кривых с этими коэффициентами, это не будет то, что надо? Вопрос в том, не нарушится ли из-за этих коэффициентов гладкость...

[ИСН]

Дак ведь расстояние до кривой само по себе не гладко. И даже (в отличие от случая с точкой) квадрат его - тоже.
Тут надо как-то...

-- Вт, 2011-02-22, 22:47 --

И вообще. Может, у Вас кривые-то касаются, а значения этих функций на них в точке касания - разные. И всё. Или значения одинаковые, но произв....
Короче, надо требовать касания не только кривых, но и этих. Как их, короче. Ну этих.

[Oleg Zubelevich]

Niclax в сообщении #415848 писал(а):

На плоскости имеются 2 непересекающиеся бесконечно гладкие кривые, касающиеся в точке, причем касание между ними порядка $k$. На кривых заданы бесконечно гладкие функции $f$ и $g$(каждая на своей кривой). Вопрос: Каким образом можно определить бесконечно гладкую функцию на всей плоскости, совпадающую с $f$ и $g$ на соответствующих кривых?

Никаким.
Рассмотрим кривую в полярных координатах $r=\pi+\arctg\varphi $ И функцию $f(\varphi)=\varphi$.
Такую функцию даже непрерывно нельзя продолжить с кривой в плоскость

[ИСН]

Во!
Не заметил я - мало того, что две кривые могут не быть согласованы, но и одна может конфликтовать сама с собой!

[Niclax]

Oleg Zubelevich в сообщении #415881 писал(а):

Niclax в сообщении #415848 писал(а):

На плоскости имеются 2 непересекающиеся бесконечно гладкие кривые, касающиеся в точке, причем касание между ними порядка $k$. На кривых заданы бесконечно гладкие функции $f$ и $g$(каждая на своей кривой). Вопрос: Каким образом можно определить бесконечно гладкую функцию на всей плоскости, совпадающую с $f$ и $g$ на соответствующих кривых?

Никаким.
Рассмотрим кривую в полярных координатах $r=\pi+\arctg\varphi $ И функцию $f(\varphi)=\varphi$.
Такую функцию даже непрерывно нельзя продолжить с кривой в плоскость

Докажите.

Если так, то тогда небольшая поправка в условии: кривые и функции такие, что их можно гладко продолжить на всю плоскость.

[Niclax]

Oleg Zubelevich в сообщении #415881 писал(а):

Никаким.
Рассмотрим кривую в полярных координатах $r=\pi+\arctg\varphi $ И функцию $f(\varphi)=\varphi$.
Такую функцию даже непрерывно нельзя продолжить с кривой в плоскость

Так это и не гладкая кривая вовсе. А для гладких кривых продолжить заданную на ней функцию на всю плоскость можно всегда.

[ИСН]

Возможны разные понятия о том, что называть гладкостью кривой.