Сумма знакочередующегося ряда.

[Mitrius_Math]

Требуется найти сумму ряда \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2n-1}{2^{n-1}}=1-\frac{3}{2}+\frac{5}{4}-\frac{7}{8}+... Я доказал, что ряд сходится абсолютно, т.к. сходится ряд
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{2^{n-1}} (признак Даламбера в предельной форме). Известно, что от перестановки членов абсолютно сходящегося ряда его сумма не меняется. Тогда \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2n-1}{2^{n-1}}=\left(1+\frac{5}{4}+...\right)-\left(\frac{3}{2}+\frac{7}{8}+... \right)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4n-3}{4^{n-1}}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4n-1}{2^{2n-1}}. Если ряды \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4n-3}{4^{n-1}} и \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4n-1}{2^{2n-1}} сходятся (а они сходятся по признаку Даламбера в предельной форме) и имеют суммы S_1 и S_2 соответственно, то ряд \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2n-1}{2^{n-1}} имеет сумму S=S_1-S_2. Далее я пытался найти n-е частичные суммы этих двух рядов, но у меня это не получилось.

[ewert]

Сумму геометрической прогрессии Вы, надеюсь, знаете. А $\sum n(-\frac{1}{2})^{n-1}$ -- это просто производная $\sum x^n$ в точке $x=-\frac12$.

[venco]

Используйте такой метод:
$S = \frac 1 2 + \frac 2 4 + \frac 3 8 + \frac 4 {16} + ... = (\frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + \frac 1 {16} + ...)+\frac 1 4+\frac 2 8+\frac 3 {16}+... = (\frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + \frac 1 {16} + ...)+\frac 1 2(\frac 1 2 + \frac 2 4 + \frac 3 8 + \frac 4 {16} + ...)= (\frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + \frac 1 {16} + ...)+\frac 1 2 S$

[ewert]

venco в сообщении #415857 писал(а):

Используйте такой метод:

Ну не буквально же такой.

[Сергей Маркелов]

Сумма Вашего ряда равна $\frac{2}{9}$. Для доказательства достаточно доказать по индукции, что $k$'ая частичная сумма данного ряда равна

$$ \sum_{n=1}^{k}(-1)^{n+1}\frac{2n-1}{2^{n-1}}=\frac{2}{9}+\frac { \left( -1 \right) ^{k+1} \left( 6\,k+1 \right) }{9\cdot{2}^{k-1}} $$

[Mitrius_Math]

ewert в сообщении #415856 писал(а):

Сумму геометрической прогрессии Вы, надеюсь, знаете. А $\sum n(-\frac{1}{2})^{n-1}$ -- это просто производная $\sum x^n$ в точке $x=-\frac12$.

Cпасибо, но с функциональными рядами я практически не знаком.