Помогите решить систему уравнений в частных производных

[godsdog]

Помогите пожалуйста решить след. систему уравнений:
$\Delta u'+(Au'+Bu'')=L$
$\Delta u''+(-Bu'+Au'')=0$
где $A,\;B,\;L$ - постоянные, а $u',\;u''$ - функции двух переменных ($x,\;y$).
Граничные условия
$u'|_\Sigma=0$
$u''|_\Sigma=0$
где $\Sigma$ - прямоугольник.
Мне следует проинтегрировать полученные решения на прямоугольнике.

Эта система решабельна аналитически? При $B=0$ система сводится к ур. Гельмгольца, которое уже здесь рассматривалось. Собственно, эта система происходит из уравнения Гельмгольца $\Delta u+\mu u=0$ при комплексном $\mu$. Использовать полученное там решение не получилось.

[ewert]

Ну так и решайте непосредственно комплексную задачу: $u(x,y)=\sum\limits_{k,n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\lambda_{kn}+\mu}C_{kn}\varphi_k(x)\psi_n(y)\,,$ где $\lambda_{kn}$ и $\varphi_k(x)\psi_n(y)$ -- это собственные числа и функции оператора Лапласа, а $C_{kn}=\dfrac{(L,\varphi_k\psi_n)}{\|\varphi_k\psi_n\|^2}$ (они будут ненулевыми, естественно, только если оба индекса нечётны). Ну или разложите в ряд по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля какой-нибудь одной переменной, если не хотите двойной суммы.

[godsdog]

Прошу прощения за тупость. Совершенно очевидное решение. Не понимаю, как я мог так протупить. Расписал уравнение через систему с действительными неизвестными и ушёл глубоко в лес.

Никаких предубеждений против двойных сумм, если они сходятся независимо от порядка суммирования (а эти суммы именно такие, так как сходятся абсолютно) не имею.

Спасибо