Решение Векторных ур-й Лапласа,Пуассона в орт-х коор-тах.

[darkwing]

Помогите с литературой, или с ссылками на разобранные примеры.

В ходе решения задачи по МСС, возникла необходимость решать векторные(не скалярные) уравнения Лапласа и Пуассона в различных ортогональных координатах. Например для сферических координат (с.к.). Скажем, для векторного уравнения Лапласа, более менее понятно как находить класс решений. Например, берем любое решение скалярного уравнения Лапласа в с.к., градиент этого решения удовлетворяет векторному уравнению Лапласа. С Пуассоном тяжелее. Вобщем вопрос состоит в том, как расписывать компоненты векторных уравнений Лапласа и Пуассона (например в сфер.координатах). То есть, для неизвестного вектора А(a1,a2,a3) дано уравнение Пуассона. Компоненты вектора, функции от трех н-х координат: a1(r,phi,theta) и т.д. Следовательно, для каждой из этих компонент, надо выписать свое уравнение, то есть расписать оператор Лапласа для вектора. Возможно, есть и описание решения для областей типа сферы, цилиндра. Наверняка рассмотрение этих вопросов где-то есть к сожалению собственными силами разобраться не удается. Нашел формулу для оператора Лапласа вектора в с.к.

$ \Delta \vec{a} = \Delta a_1 - \frac{2}{(\alpha^1)^3 sin^2\alpha^2}\times \frac{\partial a_3}{\partial \alpha^3} - \frac{2}{(\alpha^1)^3}\frac{\partial a_2}{\partial \alpha^2} - \frac{2a_1}{(\alpha^1)^2} - \frac{2a_2}{(\alpha^1)^3} ctg \alpha^2 \Delta a_2 + \frac{2}{(\alpha^1)^2 sin^3\alpha^2}\times \frac{\partial a_3}{\partial \alpha^3}- $

$ - \frac{a_2}{(\alpha^1)^2 sin^2 \alpha^2} \Delta a_3 + \frac{2}{alpha^1}( \frac{\partial a_1}{\partial \alpha^3} - \frac{\partial a_3}{\partial \alpha^1} ) + \frac{2}{(\alpha^1)^2}\times ctg \alpha^2 (\frac{\partial a_2}{\partial \alpha^3} - \frac{\partial a_3}{\partial \alpha^2})$

Но понять, какие уравнения на компоненты из этого следуют и как их решать, не получилось. Речь не о граничных задачах, а просто о решении задачи в области. Соответ-но области сфера, цилиндр и производные от них.

[zhe]

попробуйте посмотреть здесь http://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm
там есть приличная библиотека по уравнениям в частных производных.

[wingdark]

zhe писал(а):

попробуйте посмотреть здесь http://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm
там есть приличная библиотека по уравнениям в частных производных.

Спасибо за ссылку, к сожалению не нашел ответа на свой вопрос ни в
справочных материалах сайта, ни в книгах из его библиотеки. Встречался
только один способ, сведения уравнения Пуассона для вектора, к уравнению
Пуассона на скаляр. Как я уже писал выше способом, когда векторное
поле считается потенциалом и вектор заменяется на градиент скалярной функции.
Этот момент у меня вопросов не вызывает. Интересует все-таки случай, когда
вектор в таком виде не представляется. Чтобы его ротор не был равен нулю.

Вот что я смог попробовать сделать самостоятельно используя формулу для оператора
Лапласа вектора в сф.системе коородинат из моего предыдущего соообщения. u,v,w -
соответствующие компоненты вектор-функции. Тогда из уравнения Пуассона для вектора на
компоненты можно получить уравнения:

$ \Delta u - \frac{2u}{(\rho)^2} + \frac{2}{\rho} \frac{\partial u}{\partial \phi} = f $

$ \frac{2v}{(\rho)^3} ctg \theta \Delta v + \frac{2}{(\rho)^3}\frac{\partial v}{\partial \theta} - \frac{2}{(\rho)^2}\times ctg \theta \frac{\partial v}{\partial \phi}=0 $

$ \frac{v}{(\rho)^2 sin^2 \theta} \Delta w + \frac{2}{\rho}\frac{\partial w}{\partial \rho} + \frac{2}{(\rho)^2}\times ctg \theta \frac{\partial w}{\partial \theta} + \frac{2}{(\rho)^3 sin^2\theta}\times \frac{\partial w}{\partial \phi} - \frac{2}{(\rho)^2 sin^3\theta}\times \frac{\partial w}{\partial \phi}=0 $

В последнем считаем w=const, тогда оно выполнено, а два первых пробуем решать
методом разделения переменных.

Вопросы: не ошибся ли я в этих рассуждениях? Есть ли более разумные способы получения
уравнений на компоненты вектора чем тот, что я использую? Может быть это уже за
пределами классических методов, есть ли вообще разумные методы?

Проблема уже интересует не столько для учебы, сколько для общего понимания. Ведь если
рассматривать все в декартовых координатах, то на каждую компоненту обычное уравнение
Лапласа с хорошим набором частных решений, значит несмотря на особености преобразований
к сфер-им коор-м должно же и там быть какое-то общее решение с ненулевым ротором?