Можно ли найти аналитическое решение такого диф. уравнения

[alexey007]

$y=\frac{ay_{xx}}{(1+y_{x}^2)^\frac{3}{2}}$, $a-const >0$
Граничные условия
$y_{x}(0)=0$
$y_{x}(1)=c, c=const$

АКМ:

Перемещено в "Помогите решить"

[Алексей К.]

Стандартная подстановка для этого случая: $y'_x=p$, тогда $y''_{xx}=p'_y p$, и вперёд... Всё узнаем.

[alexey007]

Так, если сделать такую замену то, подставив в уравнение получим:
$y=\frac{p_yp}{(1+p^2)^\frac{3}2}$
$ydy=\frac{pdp}{(1+p^2)^\frac{3}2}$
Интегрируем:
$\frac{y^2}{2}=-\frac{1}{\sqrt{p^2+1}}$
Возникла следующая проблема,
1)как понять в каких пределах меняется $y$ и $p$?
2)я правильно понимаю, что ответ должен получиться в виде $x(p)=\phi(p), y(p)=\psi(p)$?
3)Как тогда найти $x(p)$-?

[ИСН]

Первое понимать не нужно, остальное неправильно, потеряна константа, делаем обратную замену.

[Алексей К.]

alexey007 в сообщении #413938 писал(а):

$\frac{y^2}{2}=-\frac{1}{\sqrt{p^2+1}}$

Только потерянная константа интегрирования спасёт от очевидного несоответствия знаков правой и левой части. Дальше выражаем $p$, вспоминаем, что оно равно $\frac{dy}{dx}$, и смотрим, получится ли что-нибудь приличное.
У какой, мол, кривульки кривизна пропорциональна ординате?

[Алексей К.]

alexey007 в сообщении #413712 писал(а):

$y_{x}(0)=0$

$\Longrightarrow\:p(0)=0$.

[alexey007]

Всем спасибо, разобрался и решил, правда пришлось немного уравнение подправить, но принцип тот же использовал.

Теперь встала задача решить более сложное уравнение, тут у меня не получилось с пользой применить предыдущую замену)))))))
Задача выглядит так:

$y_{xx}+\frac{1}{x}y_x(1+y_x^2)-a(y-b)(1+y_x^2)^{\frac{3}{2}}=0$
$y_x(0)=0$
$y_x(1)=c$

Можно ли его аналитически решить?

[Алексей К.]

Про это уравнение я встревать не буду --- не знаю наизусть.
Та замена здесь действительно не катит --- она для уравнений без икса.
А здесь --- надо справочники ковырять, Камке.

[alexey007]

alexey007 в сообщении #414817 писал(а):

$y_{xx}+\frac{1}{x}y_x(1+y_x^2)-a(y-b)(1+y_x^2)^{\frac{3}{2}}=0$
$y_x(0)=0$
$y_x(1)=c$

Ничего в справочниках не нашел, буду пытаться решить эту задачу численно.
Хотел бы посоветоваться как решить это уравнение численно.
Посмотрел книги Бахвалова и Калиткина численные методы, как решать краевые нелинейные задачи, вида:
$y_{xx}=f(x,y,y_x)$
Но там рассматривается задача Дирихле, а у меня задача Неймана.
Думаю линеаризовать эту задачу, а потом прогонку сделать. И так повторять пока не сойдется к решению.
Опыта совсем нет в решении таких задач. Если есть специ прошу помощи в советах.

[Vince Diesel]

Для начала надо попробовать решить символьно в какой-нибудь мат. программе. Если не получится, тогда численно там же.

[alexey007]

Vince Diesel в сообщении #417377 писал(а):

Для начала надо попробовать решить символьно в какой-нибудь мат. программе. Если не получится, тогда численно там же.

Не слышал чтобы символьно можно было решать диф. уравнения с краевыми условиями 2-го рода в матлабе или маткаде(((((
Посмотрю! Но думаю надежды мало, что стандартные функции решать((( но не буду утверждать с уверенность не пробовал, не знаю((

Сейчас решил бросить все силы на самостоятельный разбор в численном методе решения, пока разбираюсь и строю разностную схему. Думаю скоро добью и выложу результаты.

[Vince Diesel]

Нужны Mathematica или Maple. И для начала спросить общее решение. Наугад взятое уравнение второго порядка не обязано иметь ответ, выражающийся явно через что-то известное, однако зачем возиться с численным решением? Эти программы, думаю, справятся без проблем.