Уфимская математическая олимпиада 2009

[myra_panama]

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Олимпиада по математике среди команд студентов-первокурсников
23 апреля 2009г.

1.(10 баллов)Вычислить интеграл:
$\int\limits_0^{\pi}\frac{\sqrt{\arccos(\sin x)}}{|x-\frac{\pi}2|}$

2.(10 баллов)Найти все решение системы:
$\sqrt{6(x+y+z)}=\sqrt{x}+\sqrt y +2\sqrt z$
$x+y+4\sqrt z=1$


других задач не написал , .... (задачи были легкими)

[mihiv]

1.$\int \limits _0^{\pi }\dots =\int _0^{\frac {\pi }2}\dots +\int _{\frac {\pi }2}^{\pi }\dots .$В первом интеграле замена $y=\frac {\pi }2-x$,во втором-$y=x-\frac {\pi }2}$.

[ewert]

Достаточно первого интеграла: то, что оба одинаковы -- очевидно из соображений симметрии.

Во втором: $\sqrt x=u,\ \sqrt y=v,\ \sqrt z=t;$

$6(u^2+v^2+t^2)=(u+v+2t)^2;\qquad 5u^2+5v^2+2t^2=2uv+4t(u+v);$

$5u^2-2uv+5v^2+2(t-u-v)^2-2(u+v)^2=0;$

$3u^2-6uv+3v^2+2(t-u-v)^2=0;\qquad \begin{cases}u-v=0\\t-u-v=0\end{cases}$

и т.д.

[myra_panama]

Цитата:

$3u^2-6uv+3v^2+2(t-u-v)^2=0;\qquad \begin{cases}u-v=0\\t-u-v=0\end{cases}$

из этого равенства получаем, что
$x=y $
$z=4x $
отсюда , можно подставить эти равенства в системе получаем,
$4x^2-68x+1=0$
$4y^2-68y+1=0$

мм правильно?

[Simba]

Неравенство Коши-Буняковского в чистом виде:
$\sqrt{(1+1+4)(x+y+z)}\geq \sqrt x +\sqrt y +2\sqrt z$, оно обращается в равенство, когда:
$\frac{\sqrt x}{1}=\frac{\sqrt y}{1}=\frac{\sqrt z}{2}$ или $x=y=\frac{z}{4}$, из 2ого равенства сследует:
$z+8\sqrt z -2=0$ и.т.д.