Уравнение 4-ой степени

[Mr. X]

Доказать, что при любых $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ уравнение $8ax^4+4bx^3+2(c-4a)x^2+(d-3b)x+a-c=0$ имеет хотя бы один вещественный корень.

[MrDindows]

Подставьте вместо $x$:
$ 1, \ -1, \ 0.5, \ -0.5$

[Mr. X]

Спасибо!

[spaits]

И что даст Ваша подстановка, кроме дополнительных условий на a, b, c, d? Но ведь по условию задачи a, b, c, d могут быть любыми.
Если а=0, b=0, получаем кубическое уравнение, а кубическое уравнение с любыми действительными коэффициентами имеет хотя бы один корень.
Если a=0, b=0, уравнение принимает вид: 2cx^2 + dx = 0, при любых c, d оно имеет хотя бы один корень.
Остаётся рассмотреть случай: а =0. Делю все члены уравнения на 8а, и уравнение становится приведённым (коэффициент при x^4 равен 1). Заменяю коэффициенты: b'=b/8a; c'=c/8a; d'=d/8a, a=0.
Уравнение принимает вид: x^4 + 4b'x^3 + (2c'-1/2) + (d'-3b') + 1/8 -c'=0.
Разлагаю левую часть уравнения как произведение двух квадратных трёхчленов с неопределёнными коэффициентами: (x^2 + Ax + B) (x^2 + Cx + D) =0; x^4 + (A+C)x^3 + (B+D+AC)x^2 + (AD+BC)x + BD =0. Если B<0 или D<0, то хотя бы одно квадратное уравнение имеет действительные корни, и условие задачи выполнено.
A+C=4b'; B+D+AC=2c'-1/2; AD+BC=d'-3b'; BD=1/8-c'.
Надо исследовать эту систему при B>0, D>0 (так как при иных условиях решение есть), выполняется ли при этом условие (дискриминант хотя бы одного квадратного уравнения не отрицателен): A^2-B>0 или C^2-D>0.
До конца задачу я не решила.

-- Сб фев 19, 2011 13:21:20 --

Исправляю. При замене коэффициентов на b', c', d' должно быть: а не равно нулю (было написано: а=0).

[MrDindows]

spaits в сообщении #414630 писал(а):

И что даст Ваша подстановка, кроме дополнительных условий на a, b, c, d? Но ведь по условию задачи a, b, c, d могут быть любыми.
Если а=0, b=0, получаем кубическое уравнение, а кубическое уравнение с любыми действительными коэффициентами имеет хотя бы один корень.
Если a=0, b=0, уравнение принимает вид: 2cx^2 + dx = 0, при любых c, d оно имеет хотя бы один корень.
Остаётся рассмотреть случай: а =0. Делю все члены уравнения на 8а, и уравнение становится приведённым (коэффициент при x^4 равен 1). Заменяю коэффициенты: b'=b/8a; c'=c/8a; d'=d/8a, a=0.
Уравнение принимает вид: x^4 + 4b'x^3 + (2c'-1/2) + (d'-3b') + 1/8 -c'=0.
Разлагаю левую часть уравнения как произведение двух квадратных трёхчленов с неопределёнными коэффициентами: (x^2 + Ax + B) (x^2 + Cx + D) =0; x^4 + (A+C)x^3 + (B+D+AC)x^2 + (AD+BC)x + BD =0. Если B<0 или D<0, то хотя бы одно квадратное уравнение имеет действительные корни, и условие задачи выполнено.
A+C=4b'; B+D+AC=2c'-1/2; AD+BC=d'-3b'; BD=1/8-c'.
Надо исследовать эту систему при B>0, D>0 (так как при иных условиях решение есть), выполняется ли при этом условие (дискриминант хотя бы одного квадратного уравнения не отрицателен): A^2-B>0 или C^2-D>0.
До конца задачу я не решила.

-- Сб фев 19, 2011 13:21:20 --

Исправляю. При замене коэффициентов на b', c', d' должно быть: а не равно нулю (было написано: а=0).

Всё даст)Задача решается в 6 строк. 4 строки с подстановками. 1 строка где суммируются первое и второе полученные значения, и третье и четвёртое домноженные на два . Ну и вывод)

[Tlalok]

Получилось тождество $0=0$ и какой вывод?

[MrDindows]

не не не.
получилось :
$f(1)+f(-1)+2f(-0.5)+2f(0.5)=0$
Из этого следует, что либо есть два слагаемых разных знаков, либо все слагаемые равны нулю.

[Tlalok]

Согласен!

(Оффтоп)

Ой, как же не хочется думать на выходных!!!