Топологическая дуэль Шоке

[lem]

Пусть Е—метрическое пространство. Обозначим через О множество непустых открытых подмножеств Е. Наша игра устроена так.
На шаге 1 игрок 1 выбирает $A_1\in O$.
На шаге 2 игрок 2 выбирает $A_2\in O$ с единственным ограничением $A_2\subset A_1$... .
На шаге t игрок (1, если t нечетно, и 2, если четно) выбирает $A_t\in O$ с единственным ограничением $A_t\subset A_(t-1)$ и так до бесконечности.
Скажем, что игрок 1 выигрывает, если пересечение всех $A_t$ не пусто.
Если это пересечение пусто, то скажем, что выигрывает игрок 2.
1) Докажите, что если Е полное метрическое пространство, то игрок 1 может гарантировать победу.
2) Докажите, что если E = Q, то игрок 2 может гарантировать победу.
3) Для любого ли Е наша игра имеет цену?

Даже не знаю с чего начать. Буду признателен любым идеям.

[MaximVD]

1) Можно попробовать рассуждать так. Пусть игрок 1 всегда выбирает открытые шары, но не просто так, а с некоторым условием. А именно, если на предыдущем шаге игрок 2 выбрал множество $A_t$, то игрок 1 выбирает такой открытый шар $A_{t + 1}$, что существует замкнутый шар (обозначим его $B_{t + 1}$), который содержит $A_{t + 1}$ и содержится в $A_t$, т.е. $A_{t + 1} \subset B_{t + 1} \subset A_t$ (такой шар можно выбрать всегда).
В итоге мы получим последовательность замкнутых вложенных шаров $B_t$ (тут надо вспомнить теорему о вложенных шарах). Остаётся только доказать, что точка, принадлежащая пересечению замкнутых шаров, будет также принадлежать и пересечению множеств $A_t$. Это доказывается достаточно просто.

[Joker_vD]

(здесь была чушь)

Тогда в 2) надо просто подбирать $A_{t+1}$ так, чтобы они сходились к чему-нибудь из $\mathbb J$.

[Dan B-Yallay]

Joker_vD
$\displaystyle 0 \in \cap\limits_{n\in \mathbb N} (-\dfrac 1 n, \dfrac 1 n)$



1) Уже подсказано: использует Теорему о вложенных шарах.
2) Просто свести последовательность вложенных открытых интервалов к какому=либо иррациональному числы. Благо $\{\mathbb R\setminus \mathbb Q\}$ всюду плотно в $\mathbb Q$
3) Термин "цена игры" слышал, но очень издалека.

[neo66]

lem в сообщении #414081 писал(а):

2) Докажите, что если E = Q, то игрок 2 может гарантировать победу.

Действуя как учит нас MaximVD, второй игрок может сделать так, что общая точка вложенных открытых множеств будет иррациональна.

[lem]

Спасибо всем отписавшимся.

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay в сообщении #414108 писал(а):

2) Просто свести последовательность вложенных открытых интервалов к какому=либо иррациональному числы. Благо $\{\mathbb R\setminus \mathbb Q\}$ всюду плотно в $\mathbb Q$

Слишком сложно.

Лучше так. Пусть $\mathbb{Q} = \{ q_0, q_1, q_2, \ldots \}$. На шаге $2t$ игрок $2$ выбирает $R_{2t}$ так, чтобы $q_t \not\in R_{2t}$.