Задача на линейные операторы

[Alex_1]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста, разобраться с задачей на тему "Линейные операторы"
Условие следующее:
http://10pix.ru/view/2223/3483412/
Буду признателен за высказанные версии.

[caxap]

Вам нужно найти матрицу $C$ оператора, такую что $C e_i= f_i$ ($e_i,f_i$ -- столбцы $\vec e_i,\vec f_i$ в естественном базисе). Отсюда получаем системы относительно элементов $C$, имеющие единственное решение. К двум другим базисам можно перейти по матрицам перехода.

[Alex_1]

А как в этой же задачи доказать, что существует только единственный оператор?

[caxap]

Решение у тех СЛАУ единственное.

[svv]

Или так: из условий задачи действие оператора $A$ на произвольный вектор $\mathbf x = x^1 \mathbf e_1 + x^2 \mathbf e_2 + x^3 \mathbf e_3$ определяется однозначно:
$A \mathbf x = A(x^1 \mathbf e_1 + x^2 \mathbf e_2 + x^3 \mathbf e_3) = x^1 A\mathbf e_1 + x^2 A\mathbf e_2 + x^3 A\mathbf e_3 = x^1 \mathbf f_1 + x^2 \mathbf f_2 + x^3 \mathbf f_3$

[Alex_1]

А подскажите, пожалуйста, образ вектора $x=(1,2,3)^T$ будет равен A*x , где А - матрица в естесвенном базисе.

[caxap]

Если $x$ дано в том же базисе, что и $A$, то да. И результат будет в том же базисе.

[Alex_1]

А подскажите, пожалуйста, как найти матрицу оператора в паре базисов e и f ?

[caxap]

В естественном базисе матрица у вас есть ($C$). Какая будет матрица перехода из естественного в базис $(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)$ (у вас эти три вектора фактически уже даны в естественном базисе)? Вспомните, что значит каждый столбец матрицы перехода.

[Alex_1]

Правильно ли я сделал?

Создаю матрицу Q, столбцы матрицы Q есть e1,e2,e3 .
Далее приминяю формулу $ Ae=Q^-^1*C*Q$
$Ae$ это и будет матрица оператора в паре базисов e и f
Правильно ли я сделал?

[caxap]

Alex_1
Ага, только не понял

Alex_1 в сообщении #414003 писал(а):

матрица оператора в паре базисов e и f

Как это матрица может быть сразу в паре базисах? Вам нужно найти отдельно матрицу в $e$ и в $f$. Первое вы уже сделали.

(про TeX)

Обрамляйте все формулы долларами. $*$ -- это не умножение, умножение это \cdot, \times. Индекс пишется так: $A_e, e_1, e_{2434}$, что на выходе даст $A_e,e_1,e_{2434}$.

[ewert]

caxap в сообщении #414027 писал(а):

Как это матрица может быть сразу в паре базисах? Вам нужно найти отдельно матрицу в $e$ и в $f$.

Вот именно это как раз и не нужно. По условию требуется найти матрицу именно в паре базисов. Это значит, что для векторов на входе используется первый базис, а для векторов на выходе -- второй. Матрица будет, естественно, единичной.

[caxap]

ewert в сообщении #414035 писал(а):

По условию требуется найти матрицу именно в паре базисов.

Тогда извиняюсь. Первый раз услышал такое понятие...

[Alex_1]

Здравствуйте всем. Еще раз выкладываю условие задачи, которое писал вначале.

Матрицу оператора в естественном базисе я нашел
Осталось найти матрицу оператора в паре базисов е и f.
Помогите, пожалуйста, решить. Буду очень благодарен.

[caxap]

(Мнение студента)

По описанию ewert, оператор с матрицей $A_{ef}$ в паре базисов $(e,f)$ должен принимать векторы в базисе $e$, а возвращать в $f$. То есть, если у вас есть матрица $A_o$ в естественном базисе, то нужно входной вектор преобразовать по матрице перехода из $e$ в $o$, а выходной -- из $o$ в $f$:

$$\xymatrix{x_e\ar[d]_{P^{-1}_{eo}}\ar[r]^{A_{ef}} & y_f\\ x_o\ar[r]_{A_o} & y_o\ar[u]_{P^{-1}_{of}}}$$

Отсюда можно написать $A_{ef}$.

Но лучше подождать, пока кто-нибудь знающий ответит.