Надо же, на все есть последовательности и все уже изучено.
Несколько слов откуда я пришел к этой задаче.
Пусть определена последовательность

. Ясно, что все члены рациональны и можно представить в виде

, где последовательность натуральных чисел

определяется по формуле:

(целочисленные дробно-линейные преобразования).
Если обозначить через

. То предложенная мною задача эквивалентно тому (можете сами доказать), что

при всех

. Т.е. числитель и знаменатель

растет примерно как

если не учесть сокращение на степень двойки.
Кстати интересно узнать, чему равно

.