Область интегрирования и изменить порядок интегрирования

[Алексей К.]

Ferd,

будет проще, если Вы напишете сюда своё решение. Вы просто не сможете обойтись без двух интегралов. Вы не сможете их, $\int_{\sigma_1}$ и $\int_{\sigma_2}$, объединить в один.
(Потом или мы извратимся и, наверное, сделаем это, или кто-то другой не удержится, но пока давайте обойдёмся без извращений )

[Ferd]

Алексей К.

Не понимаю, почему один интеграл распадается на два?

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Господи, Ferd, лучше переведитесь куда-нибудь, где нет математики.

Интеграл распадется на два по свойству аддитивности: Если $\sigma = \sigma_1 + \sigma_2$, то

$$\int\limits_\sigma f(s)ds = \int\limits_{\sigma_1} f(s)ds + \int\limits_{\sigma_2} f(s)ds.$$

[Алексей К.]

Ferd в сообщении #413868 писал(а):

Tlalok в сообщении #413866 писал(а):

Область называется правильной в направлении какой-то оси ($Ox$ или $Oy$), если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку этой области параллельной этой оси, имеет с границей 2 общие точки.

Этого я, к сожалению, пока не понял.

Признаюсь, я этого тоже не понял. Чем плоха "неправильная" область \begin{picture}(50,60)\put(0,20){\line(1,1){30}}\put(30,50){\line(1,-1){30}}\qbezier(0,20)(10,0)(20,20)\qbezier(20,20)(30,40)(40,20)\qbezier(40,20)(50,0)(60,20)\end{picture}?
Но думать об этом я буду только в воскресенье. Вот бы вопрос как-то отпал... Например, Tlalok скажет, что перемудрил, и я не буду думанием заниматься. Ужас, как не люблю!

[Tlalok]

Алексей К. в сообщении #413874 писал(а):

Ferd в сообщении #413868 писал(а):

Этого я, к сожалению, пока не понял.

Признаюсь, я этого тоже не понял. Чем плоха "неправильная" область \begin{picture}(50,60)\put(0,20){\line(1,1){30}}\put(30,50){\line(1,-1){30}}\qbezier(0,20)(10,0)(20,20)\qbezier(20,20)(30,40)(40,20)\qbezier(40,20)(50,0)(60,20)\end{picture}?
Но думать об этом я буду только в воскресенье. Вот бы вопрос как-то отпал... Например, Tlalok скажет, что перемудрил, и я не буду думанием заниматься. Ужас, как не люблю!

А плоха она тем, что Вы должны ее разбить на правильные области, чтобы свести двойной интеграл по ней к двукратному.

[Ferd]

Joker_vD

Понятно, что по свойству аддитивности.

Непонимаю почему эта область аддитивна?Объясните пожалуйста?

-- 17 фев 2011, 01:13 --

Tlalok

Простите, откуда взялся двукратный интеграл?Речь идёт ведь о двойном интеграле...

[Tlalok]

Речь идет именно о двукратном интеграле.

$\iint\limits_\sigma {f\left( {x,y} \right)dxdy}$- вот это двойной интеграл

$\int\limits_a^c {dx\int\limits_{\phi _1 \left( x \right)}^{\phi _2 \left( x \right)} {f\left( {x,y} \right)} } dy$ - а это двукратный

[Алексей К.]

Но у автора темы область-то всяко "правильная". Зачем мы ему пудрим мозги какими-то неправильными областями?
Да и в моём примере --- есть верхняя граница $y_2(x)$ (кусочно-линейная) и нижняя $y_1(x)$. Всё сводится.
Нет, лучше поспать...
Нет лучше поспать...
Кстати, мысль --- с Зоричем можно поспать , повспоминать эти штуки. Не хуже телевизора будет, наверное.

[Ferd]

Tlalok

Разве двукратный и двойной интеграл не одно и то же

[Tlalok]

Алексей К.
Я просто переписал определение из своего конспекта. Согласен, лучше не пудрить мозги ТС и закруглить эту тему. Разбираться с правильными областями я тоже буду завтра.

Ferd
Двойные и двукратные интегралы разные вещи. А объединяет их то, что двойной интеграл можно посчитать, приведя его к двукратному.

Давайте забудем о теории и определениях.

[Алексей К.]

Ferd в сообщении #413882 писал(а):

Разве двукратный и двойной интеграл не одно и то же

Чтобы найти двойной, мы сводим его к двухкратному. Или с одним порядком интегрирования, или с другим. Какой удобнее окажется.

-- 17 фев 2011, 01:29 --

Забыли пока про правильные области. Рисуем вертикальные палочки, меняем порядок интегрирования.

Bonne nuit.

[Tlalok]

Ferd
Давайте начнем с самого начала.
$\int\limits_{0}^{4}dy\int\limits_{1+\tfrac{y}{2}}^{7-y}f(x,y)\,dx$ -это Ваш двукратный интеграл.

У него есть внешний интеграл $\int\limits_{0}^{4}dy$ - это интеграл по переменной $y$. Причем выполняются неравенства $0 \leqslant y \leqslant 4$

Пределы интегрирования для внешнего интеграла всегда числа.

Есть и внутренний интеграл $\int\limits_{1+\tfrac{y}{2}}^{7-y}f(x,y)\,dx$ - это интеграл по переменной $x$. Причем выполняются неравенства $1 + \frac{y}{2} \leqslant x \leqslant 7 - y$.

Пределы интегрирования для внутреннего интеграла, как правило, функции. Причем, если внутренний интеграл по переменной $x$, то его пределы интегрирования - функции зависящие от $y$, т.е. $x=f(y)$. И наоборот, если внутренний интеграл по переменной $y$, то его пределы интегрирования - функции зависящие от $x$, т.е. $y=g(x)$.

От вас требуют построить область интегрирования. Она описывается системой неравенств (неравенства берете из пределов интегрирования).
$\[\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant y \leqslant 4 \hfill \\ 1 + \frac{y}{2} \leqslant x \leqslant 7 - y \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

Рисуете область.

[Алексей К.]

Мне вот только не очень нравится, что вышенаписанное сформулировано как некое правило (которое стоит законспектировать, выучить, запомнить).
Надо попытаться понять судь этого двойного интегрирования. Для начала --- на простом примере, когда $f(x,y)=1$, и вычисляемое есть просто площадь. Площадь бывшего прямоугольника, которого кто-то нагло искривил, и в одном, и в другом направлении. Вот мы в одном направлении проинтегрировали, получили как бы длины линий штриховки (которые раньше, у прямоугольника, были все одинаковые, и потому площадь находилась легко), итд.

Ежели это понять, то эти правила сами в голове в нужный момент восстановятся.

А то иначе нам придётся заучивать мильён подобных догм, начиная с тех, что двойку в числитете и знаменателе можно сократить, а икс переносится в левую часть с обратным знаком. И чудная математика превратится в хуже-чем-литературу: в литературе хоть заучивать заставляют то, что в рифму:
Я Вас любил. Любовь ещё, быть может,
В душе моей угасла не совсем.
Но пусть она Вас больше не тревожит:
Я не хочу печалить Вас ничем.
И т. д. Знаки препинания я, между прочим, не заучивал. Как-то так восстановил, как эти самые пределы при интегрировании.

[Tlalok]

Алексей К.
Я с Вами полностью согласен, но не вижу другого выхода в данном формате общения.
Проще, не значит лучше, указать определенный алгоритм ТС, а затем, если у него возникнут вопросы,отвечать.

[Алексей К.]

И я с Вами согласен: научить во всю глубину на форуме трудно. Своей писаниной как бы призываю ТС книжечки почитывать, отличника знакомого поспрашивать, репку не просто почёсывыть, а в самый моск ковырять...

Кажется, я правильно написал бывшее слово мозг Ещё способен к обучению...