Прошу помощи с рядами

[Chatterer]

Sonic86 в сообщении #413640 писал(а):

По определению. Вы книжку читали? Там написано: если $\sum\limits_{n=1}^{+ \infty} a_n$ сходится, то тогда если ряд $\sum\limits_{n=1}^{+ \infty} |a_n|$ сходится, то сходимость абсолютная, а если $\sum\limits_{n=1}^{+ \infty} |a_n|$ расходится (но исходный все равно сходится), то сходимость условная.

ну да , я в принципе так же написал , только я не понимаю как это на данном примере применяется , просто под модуль все подвести ?
все же я не понимаю , прочитав признак лейбница я еще больше запутался , какое он отношение к этому примеру имеет ?

[Tlalok]

Объясняю!
Признак Лейбница применяется для определения условной сходимости знакочередующихся рядов.
Первое что Вы делаете когда видите знакочередующийся ряд - это определяете сходимость ряда, составленного из модулей (т.е. членов взятых по абсолютной величине). Если ряд из модулей сходится - то исходный ряд сходится абсолютно.
Если ряд из модулей расходится, то применяйте признак Лейбница. Если ряд удовлетворяет условиям признака Леййбница, то ряд сходится условно, если нет, то ряд расходится.

[ewert]

Tlalok в сообщении #413680 писал(а):

Если ряд удовлетворяет условиям признака Леййбница, то ряд сходится условно, если нет, то ряд расходится.

Ну последнее-то сильно опрометчиво. На Лейбнице свет клином не сошёлся. Не все же знакопеременные ряды -- знакочередующиеся. Да и даже для знакочередующихся нарушение условий Лейбница вовсе не гарантирует расходимость.

[Tlalok]

Как правило, для студентов нематематических специальностей знание признака Лейбница вполне достаточно.

ewert в сообщении #413744 писал(а):

Да и даже для знакочередующихся нарушение условий Лейбница вовсе не гарантирует расходимость.

Возможно, я просто с такими рядами не сталкивался.

[ewert]

Tlalok в сообщении #413773 писал(а):

Возможно, я просто с такими рядами не сталкивался.

да просто возьмите нормальный, хороший, лейбницево-сходящийся (пусть и не абсолютно, это не важно) ряд. А потом добавьте к нему сходящийся неотрицательный ряд, члены которого ну почти всюду нулевые, лишь изредка случаются выбросы. Ведь величины-то этих выбросов с их номерами никак связаны быть не обязаны. Вот и получите в сумме ряд и знакочередующийся, и сходящийся (пусть даже условно), но -- вовсе не обязательно монотонный по модулю.

А если общЕе, то у Вас логическая ошибка, и довольно типичная. Признак Лейбница даёт достаточное условие сходиимости, и только достаточное. Про необходимость он -- решительно ничего не говорит. И ссылаться на него для опровержения сходимости, неважно какой -- категорически нельзя.

[Tlalok]

ewert,
Согласен, я поторопился с выводами о расходимости ряда при невыполнении условий признака Лейбница, я просто забыл о его достаточности.

[Chatterer]

Tlalok так , правельно я понял ?
$ \sum\limits_{n=2}^{\infty} | (-1)^n(\frac{3n-2}{4n+3 })^n | $
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n] U_n= \frac{\frac{3n}{n}-\frac{2}{n}}{\frac{4n}{n}+\frac{3}{n} }=\frac{3}{4}$
ряд сходится абсолютно , да?

[Tlalok]

Совершенно верно.

Небольшое замечание, если Вы хотите записать ряд, составленный из модулей, то:
$\sum\limits_{n=2}^{\infty} | (-1)^n(\frac{3n-2}{4n+3 })^n |$=$\sum\limits_{n=2}^{\infty} (\frac{3n-2}{4n+3 })^n$

[Chatterer]

ааа , теперь ясно , спасибо