Пусть задана функция

. Пусть множество
![$L(x_1, x_2) =\{f\in C([0;1], \mathbb{R}^n): f(0)=x_1, f(1)=x_2\}$ $L(x_1, x_2) =\{f\in C([0;1], \mathbb{R}^n): f(0)=x_1, f(1)=x_2\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/3/3231a128249aaf0c8c64c698c3c0404982.png)
, т.е.

— множество непрерывных кривых в

, соединяющих точки

и

. По мере надобности можем определить на этом L структуру линейного пространства и топологию, довольно естественным образом. Для каждой пары точек

определим функционал

по формуле

, т.е. как криволинейный интеграл от фиксированной функции

. А вот в каком именно смысле интеграл (по Риману или там по Лебегу) — это ещё вопрос.
Вопрос: к какому (по возможности наиболее широкому) классу должна принадлежать функция f, чтобы определённый выше функционал A (для любых

) был дифференцируем, скажем, по Фреше? «Разновидность» интеграла в определении функционала можно подбирать в соответствии с классом функции f. Если условия непрерывности для кривых, по которым интегрируем, вобще для этого недостаточно, можно ограничиться гладкими кривыми, но не хотелось бы. Может быть, это какая-то классическая задача, тогда куда смотреть?