Необходимые условия «гладкости» функционала?

[Portnov]

Пусть задана функция $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. Пусть множество $L(x_1, x_2) =\{f\in C([0;1], \mathbb{R}^n): f(0)=x_1, f(1)=x_2\}$, т.е. $L(x_1,x_2)$ — множество непрерывных кривых в $\mathbb{R}^n$, соединяющих точки $x_1$ и $x_2$. По мере надобности можем определить на этом L структуру линейного пространства и топологию, довольно естественным образом. Для каждой пары точек $(x_1,x_2)$ определим функционал $A(x_1,x_2): L(x_1,x_2) \to \mathbb{R}$ по формуле $Ac = \int_c f(x)\,dl$, т.е. как криволинейный интеграл от фиксированной функции $f$. А вот в каком именно смысле интеграл (по Риману или там по Лебегу) — это ещё вопрос.

Вопрос: к какому (по возможности наиболее широкому) классу должна принадлежать функция f, чтобы определённый выше функционал A (для любых $x_1,x_2\in\mathbb{R}^n$) был дифференцируем, скажем, по Фреше? «Разновидность» интеграла в определении функционала можно подбирать в соответствии с классом функции f. Если условия непрерывности для кривых, по которым интегрируем, вобще для этого недостаточно, можно ограничиться гладкими кривыми, но не хотелось бы. Может быть, это какая-то классическая задача, тогда куда смотреть?

[ewert]

Portnov в сообщении #412790 писал(а):

т.е. как криволинейный интеграл от фиксированной функции

Не так быстро. Не любая же непрерывная кривая спрямляема. Кроме того, у Вас все функции обозначены почему-то через $f$ -- в глазах рябит и читать невозможно. Ну и пространство у Вас будет не линейным, а разве что аффинным. В общем, хорошо бы навести порядок.

[Portnov]

Хорошо, пусть L — класс спрямляемых кривых (а нет ли какого-нибудь специального интеграла по непрерывным кривым? А то вдруг…). Пусть будет аффинное пространство, вроде этого достаточно для определения производной функционала. Хотя мне кажется, что его можно сделать линейным, взяв за «ноль» отрезок прямой, соединяющий точки $x_1, x_2$. Функция f у меня одна, аргумент функционала A я обозначил буквой $c$, а других функций тут вроде и нет.

[ewert]

Portnov в сообщении #412808 писал(а):

а нет ли какого-нибудь специального интеграла по непрерывным кривым?

Не-а, длина может оказаться бесконечной (в т.ч. и локально бесконечной), какой уж тут интеграл.

Portnov в сообщении #412808 писал(а):

Хотя мне кажется, что его можно сделать линейным, взяв за «ноль» отрезок прямой, соединяющий точки

Ну это и означает, что оно аффинное. Ведь линейные-то операции подразумеваются стандартными.

Portnov в сообщении #412808 писал(а):

Функция f у меня одна,

Эта буква совершенно неуместна в самом начальном определении $L$.

Ну хорошо. А что такое этот функционал так, по-сермяжному? Это $\int\limits_0^1f(x(t),y(t))\cdot\sqrt{{x'}^2(t)+{y'}^2(t)}\,dt$. Ну варьирнём его, проинтегрируем по частям, чтоб избавиться от $\delta x'(t)$ и $\delta y'(t)$... В общем, надо, чтобы кривые были дважды гладкими, хотя бы в каком-нибудь соболевском смысле.

[В.О.]

Вы пишите- "...множество непрерывных кривых в $\mathbb{R}^n$, соединяющих точки $x_1$ и $x_2$". Т.е. точки $x_1$, $x_2 \in\mathbb{R}^n $. Но перед этим было $f(0) = x_1$, $f(1) = x_2$, т.е. $x_1$, $x_2 \in\mathbb{R} $. Порядок, все-таки, навести надо.
Если своими словами: определяем фиксированную действительнозначную функцию на плоскости (не надо пока больших размерностей).Пусть, для конкретности, это будет тождественная 1. Выбираем две фиксированных точки на плоскости. Эту фиксированную функцию интегрируем по всевозможным кривым, соединяющим эти две точки. Получаем функционал определенный на кусках этих кривых. Так? Теперь Вы хотите, чтобы этот функционал был дифференцируем?

[Portnov]

Да :)

[В.О.]

Если Ваше "да" относится к моему вопросу, то лучше всего открыть литературу, найти какое-нибудь достаточное условие дифференцируемости функционалов и подобрать условия в своей задаче, так, чтобы оно выполнялось. Скорее всего, это будет дифференцируемость функции f по обоим аргументам (в двухмерном случае). Ну, и конечно, кривые должны быть спрямляемыми, иначе говорить не о чем.

[ewert]

$$\delta A(\vec r)=\int\limits_0^1\left((\vec\nabla f(\vec r),\delta\vec r)\,|\dot{\vec r}|+f(\vec r)\dfrac{(\dot{\delta\vec r},\dot{\vec r})}{|\dot{\vec r}|}\right)dt\,.$$

Чтобы полученный функционал был ограничен в равномерной метрике, надо иметь возможность проинтегрировать второе слагаемой по частям. Помимо прочих безобидных вещей, там ещё выскочит сомножитель $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\dot{\vec r}}{|\dot{\vec r}|}\right)$. А это требует двукратной дифференцируемости, и даже этого мало: кривая ещё не должна иметь, например, изломов, т.е. должна быть гладкой ещё и в естественной параметризации, а не только в исходной.

[Portnov]

В.О.
То, что можно применить определения и теоремы и всё самому вывести — я и так знаю, спасибо :) Вопрос тут задаю в надежде, что это какая-нибудь общеизвестная задача или кто-то тут с чем-то похожим сталкивался.

ewert
Уже что-то, спасибо. Получается, класс кривых надо брать дважды гладких. А класс функций f? В вашей формуле от неё берётся градиент, так что она должна быть гладкой по всем аргументам, так?

[ewert]

Portnov в сообщении #412875 писал(а):

А класс функций f? В вашей формуле от неё берётся градиент, так что она должна быть гладкой по всем аргументам, так?

Ну это-то без вариантов. Другое дело, что под "гладкостью" не обязательно понимать именно непрерывную дифференцируемость, но это уже ловля блох.