Уравнение в теории упругости

[Rangok]

Не понимаю как получить уравнение в виде, представленном в учебнике учебнике(стр 17)
Мощность внешних сил, действующих на сплошную среду, и изменение кинетической энергии (обе величины отнесены к единице массы) в эйлеровой форме связаны общеизвестным уравнением
$\frac{DW}{Dt} -\frac{DK}{Dt}=\frac{1}{\rho}\cdot\sigma_{ij}{}e_{ij}$,
Где $\sigma_{ij}$- тензор напряжений, $e_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial{}v_j}{\partial{}x_i}+\frac{\partial{}v_i}{\partial{}x_j}\right)$- эйлеров тензор скоростей деформаций, $v_i$ - скорость частицы, $x_j$ - текущая координата частицы.
При отсутствии массовых сил, у меня получается:
$\frac{DW}{Dt}-\frac{DK}{Dt}=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial{}x_j}\left(\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial{}t}u_i\right)+\sigma_{ij}\frac{\partial{}v_i}{\partial{}x_j}\right)$.

[Zai]

Второй член Вы можите преобразовать в силу симметрии тензора напряжений к виду с страницы 17. Откуда же у Вас взялся первый член?

[Rangok]

Рассмотрим элементарный кубик вещества размерами $\Delta{}x_1$,$\Delta{}x_2$,$\Delta{}x_3$.
Работа внешних сил, действующих на кубик, в проекции на ось $x_1$, будет определяться выражением:
$A_x_1=\left[\sigma_{11}(x_1+\Delta{}x_1)\cdot{}u_1(x_1+\Delta{}x_1)-\sigma_{11}(x_1)\cdot{}u_1(x_1)\right]\Delta{}x_2\Delta{}x_3+\left[\sigma_{12}(x_2+\Delta{}x_2)\cdot{}u_1(x_2+\Delta{}x_2)-\sigma_{12}(x_2)\cdot{}u_1(x_2)\right]\Delta{}x_1\Delta{}x_3+\left[\sigma_{13}(x_3+\Delta{}x_3)\cdot{}u_1(x_3+\Delta{}x_3)-\sigma_{13}(x_3)\cdot{}u_1(x_3)\right]\Delta{}x_1\Delta{}x_2.$
Разделив это выражение на элементарную массу кубика, стремя при этом его размеры к нулю можем записать:
$\frac{A_x_1}{m}=W_x_1=\frac{1}{\rho}\left[\frac{\partial\left(\sigma_{11}u_1\right)}{\partial{}x_1}+\frac{\partial\left(\sigma_{12}u_1\right)}{\partial{}x_2}+\frac{\partial\left(\sigma_{13}u_1\right)}{\partial{}x_3}\right].$
Окончательно можно переписать:
$W_x_1=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\left(\sigma_{1j}u_1\right)}{\partial{}x_j}.$
Аналогично можно составить выражения для работ внешних сил в проекциях на оси $x_2$ и $x_3$, тогда работа всех сил будет определяться выражением:$W=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\left(\sigma_{ij}u_i\right)}{\partial{}x_j},$ производная по времени от$W$ равна:$\frac{\partial{}W}{\partial{}t}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\left(\sigma_{ij}u_i\right)}{\partial{}x_j\partial{}t}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{\partial}{\partial{}x_j}\left(\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial{}t}u_i+\sigma_{ij}v_i\right)$, или
$\frac{\partial{}W}{\partial{}t}=\frac{1}{\rho}\cdot\left[\frac{\partial}{\partial{}x_j}\left(\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial{}t}u_i\right)+\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial{}x_j}v_i+\sigma_{ij}\frac{\partial{}v_i}{\partial{}x_j}\right]$
Кинетическая энергия, отнесенная к единице массы равна:$K=\sum_{i=1}^{3}{\frac{v_i^2}{2}$, производная от нее по времени:$\frac{\partial{}K}{\partial{}t}=\sum_{i=1}^{3}{\frac{\partial\left(v_i^2/2\right)}{\partial{}t}}=v_i\frac{\partial{}v_i}{\partial{}t}=v_i\frac{\partial^2{}u_i}{\partial{}t^2}$.
Из уравнения (1.14) при отсутствии массовых сил имеем:
$\frac{\partial^2{}u_i}{\partial{}t^2}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial{}x_j},$
тогда можем написать:
$\frac{\partial{}K}{\partial{}t}=\frac{1}{\rho}v_i\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial{}x_j}$.
Вычитая из $\frac{\partial{}W}{\partial{}t}$ $\frac{\partial{}K}{\partial{}t}$ получаем:
$\frac{DW}{Dt}-\frac{DK}{Dt}=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial{}x_j}\left(\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial{}t}u_i\right)+\sigma_{ij}\frac{\partial{}v_i}{\partial{}x_j}\right)$

[Zai]

Цитата:

Работа внешних сил, действующих на кубик, в проекции на ось , будет определяться выражением...

У Вас опечатка вслед за упомянутым выше выражением - по размерности -u- скорости, и следовательно это не работа а мощность.

[Rangok]

$u$-это не скорость, а перемещение, $v$- скорость.
Так что с уравнением-то?

[Zai]

У Вас динамический процесс и по всей видимости необходимо записывать не работу внешних сил, а сразу мощность внешних сил.

[Rangok]

Зачем? Я вначале вывел выражение для работы, а потом взял от него производую по времени. В конечном итоге нужно написать выражения для $\frac{DW}{Dt}$ и $\frac{DK}{Dt}.
Где ошибка, почему не получается как в книге?

[Zai]

Попробуйте определить по Вашим сотношениям внутреннюю потенциальную энергию в точке. Сравните ее с общеизвестным выражением.